臨場(chǎng)發(fā)揮引出的“尷尬”

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1、臨場(chǎng)發(fā)揮引出的“尷尬”——記對(duì)一道習(xí)題的發(fā)散思考地址：重慶市七十九中學(xué)數(shù)學(xué)組郵編：400051電話(huà)：13638331460單位：重慶市第七十九中學(xué)陳建明相信有許多老師在教學(xué)生涯中有很多時(shí)候都有“臨場(chǎng)發(fā)揮”，但絕大多數(shù)時(shí)候都能游刃有余的解決“發(fā)揮”出來(lái)的新問(wèn)題。但我卻在對(duì)一道普通題目的發(fā)揮中跳進(jìn)了自已給自已挖的“坑”。在人教版2008年3月第2版的《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下27頁(yè)復(fù)習(xí)題有一道這樣的題：證明：如果兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一條邊上的中線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。對(duì)此題的證明是要求按文字命題解決步驟，即第一步分清已知（題設(shè)）和求證（結(jié)論），第二步畫(huà)出適當(dāng)圖形，第三步

2、根據(jù)圖形用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知與求證，第四步寫(xiě)證明。在解決完這個(gè)題目后，我提示學(xué)生們，這條中線(xiàn)是否可以改為第三邊的中線(xiàn)，于是得到下面的命題：發(fā)散一：如果兩個(gè)三角形有兩條邊和第三條邊上的中線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。對(duì)于這個(gè)命題，我通過(guò)和學(xué)生共同探討得到如下解決方法：已知：如圖1，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線(xiàn)，且AD=A′D′。求證：△ABC≌△A′B′C′圖1在這里，我僅給出對(duì)證明思維的簡(jiǎn)略說(shuō)明，如下圖2所示，分別延長(zhǎng)AD至E，A′D′至E′，且使得AD=DE，A′D′=D′E′，連接

3、BE，B′E′，從而易得△ABE≌△A′B′E′，故易得BD=B′D′，從而有BC=B′C′，則由“SSS”可得△ABC≌△A′B′C′。圖2這時(shí)，學(xué)生覺(jué)得這個(gè)發(fā)散一更有意思，對(duì)思維提出了更高的要求。我又接著問(wèn)：三角形中有哪些重要的線(xiàn)段，你們還能對(duì)這個(gè)命題作何種改編。在上面的基礎(chǔ)上，學(xué)生很容易得到了如下兩個(gè)命題：發(fā)散二：如果兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一條邊上的高線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。發(fā)散三：如果兩個(gè)三角形有兩條邊和第三條邊上的高線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。對(duì)于發(fā)散二、發(fā)散三，我們?nèi)菀子萌缦聢D3，圖4構(gòu)造反例進(jìn)行否定，從而確認(rèn)為假命題。4圖3圖4至此，三角

4、形中三種重要線(xiàn)段只剩下內(nèi)角平分線(xiàn)了，在我的引導(dǎo)下，學(xué)生們也類(lèi)似地得出了如下命題：發(fā)散四：如果兩個(gè)三角形有兩條邊和這兩邊夾角的角平分線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。發(fā)散五：如果兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一邊對(duì)角的角平分線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。但是，當(dāng)我在黑板上畫(huà)出圖形，要求同學(xué)們和我一起來(lái)思考如何證明時(shí)，我發(fā)現(xiàn)用初二的知識(shí)證明很困難了，就這樣被“尷尬”的“掛”在黑板上。但是我想，對(duì)于這個(gè)命題的正確與否，我必須給學(xué)生一個(gè)“交代”。下課之后，我對(duì)這兩個(gè)命題作了探究：對(duì)于發(fā)散四，先把它改寫(xiě)成如下形式：已知，如圖5，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A

5、′C′，AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線(xiàn)，且AD=A′D′。求證：△ABC≌△A′B′C′圖5證明：如圖6，分別過(guò)C、C′作CE∥AD交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于E，作C′E′∥A′D′交B′A′延長(zhǎng)線(xiàn)于E′，∵AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線(xiàn)，∴∠BAD=∠CAD，∠B′A′D′=∠C′A′D′，∵CE∥AD，∴∠E=∠BAD，∠ACE=∠CAD，∴∠E=∠ACE，∴AE=AC，同理可證A′E′=A′C′，∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BE=B′E′，又由角平分線(xiàn)內(nèi)分線(xiàn)段成比例定理可知：，∵CE∥AD，∴，同理可得：，∴=，∵AD=

6、A′D′，∴CE=C′E′，∴△ACE≌△A′C′E′（SSS），∴∠E=∠E′，∴△BCE≌△B′C′E′（SAS）∴BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）4圖6但是，對(duì)于發(fā)散五，我試著作了幾種方法，“左沖右突”都還不能解決，但我堅(jiān)信是一個(gè)真命題，于是想到了那幾個(gè)平面幾何的著名定理，如塞瓦定理、梅涅勞斯定理、斯特瓦爾特定理等，看能不能借助這些定理來(lái)證明此命題的真假。于是發(fā)現(xiàn)了斯特瓦爾特定理有一個(gè)推論與角平分線(xiàn)相關(guān)，于是利用它終于將此命題證明。為了方便應(yīng)用，先將斯特瓦爾特定理及其推論介紹如下：斯特瓦爾特定理：如圖7，△ABC的邊BC上任取一點(diǎn)D，若BD=u

7、，DC=v，AD=t，則有：。（注：其證明可在一些數(shù)奧資料上查閱。）圖7特別地：當(dāng)AD是△ABC的角平分線(xiàn)時(shí)，由三角形內(nèi)角平分線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理可知：u=，v=，從而得到角平分線(xiàn)長(zhǎng)度公式：AD=t=bc－?，F(xiàn)將發(fā)散五寫(xiě)成如下形式：已知，如圖8，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′=c，BC=B′C′=a，AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線(xiàn)，且AD=A′D′。求證：△ABC≌△A′B′C′圖8證明：設(shè)AC=b，A′C′=b′，則由斯特瓦爾特定理推論可得：AD=bc－，A′D′=b′c－，∵AD=A′D′，∴（bc