函數(shù)的極值與最值

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1、第五節(jié)函數(shù)的極值與最值教學目的：1使學生理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)極值的方法。2使學生掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應用。教學重點：求函數(shù)的極值。教學過程：一、復習函數(shù)單調(diào)性判別法二、講解新課：（一）函數(shù)的極值上節(jié)[例3]中，用X=0，和X=1兩點將的定義域（-∞，+∞）分為三小區(qū)間（-∞，0），[0，1]，，使用分別在這三個小區(qū)間上單增，單減，單增（見圖），從圖中不難看出，在X=0的一個較小范圍內(nèi)，在X=1點的最小區(qū)間都是慮的局部情況，而不是整體這就是將討論的極值。定義：設函數(shù)在點X0的某鄰域上有定義，若對有，

2、（）定義：設函數(shù)在點X0處的得極大值（極小值）點X0稱為極大點（極小點），極大值，極小值統(tǒng)稱為極值，極大點，極小點統(tǒng)稱為極點。顯然在上一講[例3]中，X=0，X=1均為極點，注：極大點，極小點未必統(tǒng)一。定理1：（極值的必要條件），若函數(shù)在點可導，且取得極值，則。注：1、一般地，在處有，就稱為的駐點或穩(wěn)定點，上定理1即是可導函數(shù)的極點必為穩(wěn)定點。2、定理1不是充分的即駐點未必是極點，及例：在=0處的情況。3、定理1只對可導函數(shù)而言，對導數(shù)不存在的點，函數(shù)也可能取及極值，例：=∣x∣，在x=0點的導數(shù)不存在，但取得極小值。4、

3、證明可仿照Rolle中值定理的證明，此處不證了。如何判別在x0點取得極值，有下二個定理：定理2（判別法1），設連續(xù)，在x0點連續(xù)，在x0的某一定心鄰域內(nèi)可導（Ⅰ）若當x∈（x0–σ，x0）時，f′（x）≥0，當x∈（x0，x0+σ）時，f′（x）≤0，則f（x）在x0點取得極大值。（Ⅱ）若當x∈（x0–σ，x0）時，f′（x）≤0，當x∈（x0，x0+σ）時，f′（x）≥0，則f（x）在x0點取得極小值。定理3（判別法2）設f（x）在x0的某鄰域內(nèi)可導，且f（x0）=0，f′（x0）存在（Ⅰ）若f″（x0）＜0，則f（x）

4、在x0點取得極大值。（Ⅱ）若f″（x0）＞0，則f（x）在x0點取得極小值。（Ⅲ）若f″（x0）=0，則此差別法2換效。證：（Ⅰ）f″（x0）=limf′（x）-f′（x0）/x-x0=limf′（x）/x-x0＜0故存在x0的某鄰域U（x0，σ），當X∈（x0，σ）時，f′（x）/x-x0。即f′（x）與x-x0反號，當x∈（x0–σ，x0）時，f′（x）＞0，當x∈（x0，x0+σ）時，f′（x）＜0；由差別法1，f（x）在x0點取得極大值。（Ⅲ）[反例1]f（x）=x2在x=0點取得極小值。[反例2]f（x）=x3在

5、x=0點取不到極值。[例1]上節(jié)[例2]f（x）=3x-x3[例2]求f（x）=（x-2）2/3（2x+1）的極值解：由為駐點；又，所以所以在處取得極大值，且極大值為。又在處不可導，對充分小的當時，；當時，，由判別法1知在處取得極小值，且極小值為f（2）=0，所以f（x）在x=1處取得極大值3，在x=2處取得極小值0。（二）函數(shù)的最大值與最小值現(xiàn)討論求最大值，最小值的問題，最大（小）值是一整體概念是指函數(shù)在定義域內(nèi)取到的了最大數(shù)，最小數(shù)。與極大值，極小值不同。如果最大（?。┲翟诙x域內(nèi)部取得，則此最大（?。┲当貫闃O大（?。?/p>

6、極，這時，最大（?。c必為導數(shù)不存在的點和駐點，另外最大（?。┲颠€可能在定義域的端點上取得（若端點在定義域中的話）。由此，若f（x）在定義域上取到最大（小）值?，F(xiàn)給出求f（x）在區(qū)間Ⅰ上的最大（小）值辦法：（i）求出f（x）在Ⅰ上的所有駐點不可導點和端點。（ii）求出f（x）在這些點上的函數(shù)值，再進行比較：最大（?。┱呒礊樗蟮淖畲螅ㄐ。┲?。特別地，若f（x）在[a，b]上連續(xù)，可導，此時最大（?。┲当卦隈v點和端點a、b中取得。[例1]求f（x）=x4-2x2+3在區(qū)間[-3，2]上的最大值和最小值。解：因為f（x）在[-

7、3，2]上連續(xù)，故最大值，最小值一定存在。又f（x）在[-3，2]內(nèi)可導，即無不可導的點，下求駐點；令為駐點。而又在端點處f(-3)=66，f（2）=11經(jīng)過比較，得知最大者為66，最小者為2，∴f（x）在[-3，2]上的最大值為66，最小值為2。思考題：f（x）=x4-2x2+3在[-3，2]上是否存在最大，小值？為什么？[例2]求f（x）=x4-8x2在[-1，1]上的最值。解：f（x）在[-1，1]上連續(xù)，可導，∴最值存在，且在駐點和端點中取得。令f′（x）=4x3-16x=4x（x2-4）=0得x1=0，x2=2，

8、x3=-2，因為2，-2∈（-1，1）故去掉，所以在[-1，1]中有一個駐點x=0，且f（0）=0。又在端點處，f（-1）=f（1）=-7，由比較得f（X）在[-1，1]上的最大值為0，最小值為-7。注：上例中，S=0為f（x）在[-1，1]上的唯一的駐點，不難驗證f（x）在x=0處取得極大值（因為f″