.函數(shù)的極值與最值

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1、2.函數(shù)的極值與最值（1）（炆邑）2017.11.28一、基礎(chǔ)知識(shí)1.函數(shù)的極值(1)求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，①如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極小值.(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào).如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值.2.函數(shù)

2、的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值.(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值.(3)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：第一步　求f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；第二步　將第一步中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶?/p>

3、號(hào)中打“√”或“×”)1.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件.2.函數(shù)的極大值不一定比極小值大.(　√　)3.對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件.(　×　)4.函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值.(　√　)5.三次函數(shù)在R上必有極大值和極小值.(　×　)【課前小練】1.(教材改編)函數(shù)y＝3x3－9x＋5的極大值為________.答案　11解析　y′＝9x2－9.令y′＝0，得x＝±1.當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)

4、1(1，＋∞)y′＋0－0＋y↗極大值↘極小值↗從上表可以看出，當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)y有極大值，3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.2.函數(shù)f(x)＝＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是________.答案　－解析　f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－3舍去)，第10頁，共10頁又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，故f(x)在[0，2]上的最小值是f(1)＝－.3.設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案　(－∞，－1)解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函

5、數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點(diǎn)，則方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵當(dāng)x>0時(shí)，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.二、例題題型一　用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極值問題命題點(diǎn)1　根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值例1　(1)(2016·淮安模擬)設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象最有可能是________.(2)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是________.①函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)；②函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小

6、值f(1)；③函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)；④函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2).答案　(1)③　(2)④解析　(1)由f′(x)圖象可知，x＝0是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，x＝2是f(x)的極小值點(diǎn).(2)由題圖可知，當(dāng)x<－2時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－22時(shí)，f′(x)>0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值.命題點(diǎn)2　求函數(shù)的極值例2　設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的極值；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得

7、方程f(x)＝0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解　(1)令f′(x)＝－3x2＋3＝0，得x1＝－1，x2＝1.又因?yàn)楫?dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)<0；第10頁，共10頁當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0.所以f(x)的極小值為f(－1)＝a－2，f(x)的極大值為f(1)＝a＋2.(2)因?yàn)閒(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，且當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→＋∞；又f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，且當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→－∞；而a＋2>a－2，即函數(shù)的極大值大于極小值，所以當(dāng)極大

8、值等于0時(shí)，有極小值小于0，此時(shí)曲線f(x)與x軸恰