數(shù)學(xué)專題(六)直線與圓錐曲線

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1、數(shù)學(xué)專題（六）直線與圓錐曲線陜西安振平l高考風(fēng)向標(biāo)直線的傾斜角和斜率，直線的方程，兩直線的位置關(guān)系，簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃．圓的方程，橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．將解析幾何知識(shí)和向量知識(shí)綜合于一題，這是近年高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)．l典型題選講例１　若的取值范圍是（）.A．　[2，6]B．　[2，5]C．[3，6]D．[3，5]講解　由得又所以當(dāng)時(shí)，原不等式組成立，從而故應(yīng)選A．點(diǎn)評(píng)　請(qǐng)讀者不妨畫(huà)個(gè)圖形，可以給出圖形解法嗎？例２　橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，過(guò)F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則＝（　?。〢．B．C．D．4講解　由橢圓的方

2、程可以讀出，則.令，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，代入橢圓方程，解得，點(diǎn)P的縱坐標(biāo).而-13-，于是，在Rt△PF1F2中，應(yīng)用勾股定理，得.應(yīng)選C.點(diǎn)評(píng)　請(qǐng)讀者自己畫(huà)出圖形.當(dāng)然，不必畫(huà)圖，圖在心中也能解題.例３　設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是（　?。〢．[－，]B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]講解　易知拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為Q(-2,0)，于是，可設(shè)過(guò)點(diǎn)Q(-2,0)的直線的方程為，聯(lián)立其判別式為，可解得，應(yīng)選C.點(diǎn)評(píng)　對(duì)斜率取特殊值也可巧解；如果畫(huà)圖形，可以看出答案嗎？.例４　設(shè)雙曲線與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、

3、B.（１）雙曲線C的離心率的取值范圍；（２）直線與軸的交點(diǎn)為，且，求的值.講解：（１）由C與t相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得（1－a2）x2+2a2x－2a2=0.①雙曲線的離心率-13-（２）設(shè)由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，點(diǎn)評(píng)　本小題主要考查直線和雙曲線的概念和性質(zhì)，平面向量的運(yùn)算等解析幾何的基本思想和綜合解題能力．例５　某人承攬一項(xiàng)業(yè)務(wù)：需做文字標(biāo)牌2個(gè)，繪畫(huà)標(biāo)牌3個(gè)?，F(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格每張3,可做文字標(biāo)牌1個(gè)、繪畫(huà)標(biāo)牌2個(gè)；乙種規(guī)格每張2,可做文字標(biāo)牌2個(gè)、繪畫(huà)標(biāo)牌1個(gè)．求這兩種規(guī)格的原料用多少?gòu)埐拍苁箍偟挠昧厦娣e最?。恐v解設(shè)

4、用甲種規(guī)格原料x(chóng)張，乙種規(guī)格原料y張，則可做文字標(biāo)牌x+2y個(gè)，繪畫(huà)標(biāo)牌2x+y個(gè)．由題意可得，　　　　　　　　-13-OB所用原材料的總面積，作出可行域如圖示陰影部分內(nèi)的整點(diǎn)，作直線，作一組與直線平行的直線．當(dāng)直線通過(guò)2x+y=3與直線x+2y=2的交點(diǎn)時(shí)，t取得最小值因?yàn)椴皇钦c(diǎn)，所以它不是最優(yōu)解．當(dāng)時(shí)，可知當(dāng)時(shí)，代入約束條件，可得，即經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的整點(diǎn)，點(diǎn)B（1，1）滿足3x+2y=5，使t最小，所以最優(yōu)解為B（1，1）．故用甲種規(guī)格的原料1張，乙種規(guī)格的原料1張，能使總的用料面積最小，其最小值是5．點(diǎn)評(píng)　求整點(diǎn)最優(yōu)解時(shí)，可先轉(zhuǎn)化為普通線性規(guī)劃求解．若所求得的最優(yōu)解不是整點(diǎn)時(shí)，再借助不定

5、方程的知識(shí)調(diào)整最優(yōu)值，最后求出整點(diǎn)最優(yōu)解．因?yàn)樵诳荚嚂r(shí)，常需要作出一些圖形，而要解決作圖的準(zhǔn)確性問(wèn)題，就必須抓住圖形中的一些關(guān)鍵點(diǎn)和圖形的變化趨勢(shì)．只有抓住了局部的關(guān)鍵點(diǎn)，也就帶動(dòng)了整體的圖形狀態(tài)．例６　已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠F1PF2的最大值為90°，直線l過(guò)左焦點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△ABF2的面積最大值為12．（1）求橢圓C的離心率；（2）求橢圓C的方程．講解?。?）設(shè)．由得　　　　．（2）　1)當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)l的方程為………………①-13-橢圓方程為．由　得　　?。谑菣E圓方程可化為………………②把①代入②，得，整理得，則x1

6、、x2是上述方程的兩根，且，．AB邊上的高．２）當(dāng)k不存在時(shí)，把直線代入橢圓方程，得由①②知S的最大值為．由題意得=12所以，．所以面積最大時(shí)橢圓方程為：點(diǎn)評(píng)　也可這樣求解：．例７　經(jīng)過(guò)拋物線y的焦點(diǎn)F的直線L與該拋物線交于A,B兩點(diǎn)．（１）線段AB的斜率為k，試求中點(diǎn)M的軌跡方程；-13-（１）直線的斜率k＞2，且點(diǎn)M到直線3x+4y+m=0的距離為，試確定m的取值范圍．講解　(1)　設(shè)A(直線AB的方程為y=k(x-1)(k≠0),代入得　　　　kx-(2k+4)x+k=0．設(shè)M(x,y)，則∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(．于是消去k，可得M的軌跡方程為．(2)由于d=所以　　即　　　0＜＜,　　得0＜

7、,即或故實(shí)數(shù)的取值范圍為．點(diǎn)評(píng)　圓錐曲線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題是歷年高考的熱門(mén)話題，解答過(guò)程當(dāng)中有一些需要我們掌握的技巧和方法，應(yīng)當(dāng)引起讀者深刻的反思．例８　已知?jiǎng)狱c(diǎn)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和為定值，且的最小值為．-13-（１）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（２）若已知，、在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．講解　(１)由題意．設(shè)（），由余弦定理,得．又·，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，·取最大值，此時(shí)取最小值，令，解得，，∴，故所