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《秩虧網(wǎng)平差若干計(jì)算方法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、秩虧網(wǎng)平差若干計(jì)算方法1.概述在測(cè)量平差中，控制網(wǎng)中除了必要起算數(shù)據(jù)外還有多余起算數(shù)據(jù)的是附合網(wǎng)，僅有必要起算數(shù)據(jù)的是自由網(wǎng)，這兩種控制網(wǎng)在間接平差時(shí)誤差方程系數(shù)矩陣B都是滿秩的，由此得到的法方程系數(shù)陣N=BTPB也是滿秩的，即法方程有唯一解。這是經(jīng)典平差的范疇。自由網(wǎng)中有一種具有特殊用途的控制網(wǎng)，就是秩虧自由網(wǎng)，這種自由網(wǎng)沒(méi)有起始數(shù)據(jù)參與平差并且以待定點(diǎn)的坐標(biāo)為待定參數(shù)。此時(shí)的誤差方程的系數(shù)陣B是列虧陣，由此所得的法方程系數(shù)陣N=BTPB也是秩虧陣。一般設(shè)網(wǎng)中全部的待定坐標(biāo)個(gè)數(shù)為u，必要觀測(cè)數(shù)為t，全
2、部觀測(cè)數(shù)為n，B為n×u階矩陣，相應(yīng)的法方程系數(shù)陣N是u×u階矩陣，RB=RN=t
3、RB=t
4、BTPB
5、=0，即該方程組有解但不唯一，雖然滿足最小二乘準(zhǔn)則，但有無(wú)窮多組x~的解，無(wú)法求得唯一的x~，因?yàn)閰?shù)x~必須在一定的坐標(biāo)基準(zhǔn)下才能唯一確定。為了得到x~的唯一解，增加d個(gè)坐標(biāo)基準(zhǔn)約束條件，即：
6、STx~=0(4)在限制條件VTPV+2KT(STx~)=min下，得到法方程如下：BTPBx~+SK=BTPlSTx~=0（5）由此可以根據(jù)下面的方程組解得x~的唯一解：V=Bx~-lBTPBx~+SK=BTPlSTx~=0VTPV+2KT(STx~)=min（b）由上述方程組（b），可以得到：x~=（BTPB+SST）-1BTPlQ=（BTPB+SST）-1BTPB（BTPB+SST）-1(7)3.矩陣分解應(yīng)用于秩虧網(wǎng)平差3.1奇異值分解用于秩虧網(wǎng)平差可以看出，上面提到的這種計(jì)算秩虧網(wǎng)平差的方式很復(fù)
7、雜，現(xiàn)在我們不妨把秩虧自由網(wǎng)平差看成在滿足最小二乘VTPV=min和最小范數(shù)x~Tx~=min的條件下，求參數(shù)一組最佳估值的平差方法，也就是通過(guò)對(duì)如下的方程組來(lái)解求x~的唯一解：V=Bx~-lBTPBx~-BTPl=0VTPV=minx~Tx~=min(c)這是個(gè)復(fù)雜的方程組，如果按照正常求解的方法是很困難的，下面我們把矩陣的奇異值分解融合進(jìn)來(lái)。矩陣的奇異值分解是線性代數(shù)中一種重要的矩陣分解，在最優(yōu)化問(wèn)題、特征值問(wèn)題和廣義逆問(wèn)題及統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)題中都有重要的應(yīng)用。對(duì)秩為r的m×n階矩陣A進(jìn)行奇異值分解的步驟是
8、：1）求得AHA的特征值γ1，γ2,……γn,及對(duì)應(yīng)的特征向量并正交單位化，得矩陣V，使得VHAHAV=M2000,M=diag(γ1，γ2,……γn)；2）將V的前r列作為V1，令U1=AV1M-1，再擴(kuò)張成m階的矩陣U；3）那么A=UM000VH。根據(jù)上述矩陣奇異分解的原理求得矩陣B的奇異值分解：B=UM000VH,在此基礎(chǔ)上令矩陣G=VM-1000UH。通過(guò)矩陣?yán)碚摰膶W(xué)習(xí)我們知道，可以通過(guò)如下的方式來(lái)驗(yàn)證G就是B的廣義逆：（1）BGB=UM000VHVM-1000UHUM000VH=UM000VH
9、=B(2)GBG=VM-1000UHUM000VHVM-1000UH=VM-1000UH=G(3)(BG)H=(UM000VHVM-1000UH)H=BG(4)(GB)H=(VM-1000UHUM000VH)H=GB對(duì)于不相容方程組Bx=b,使得x=Gb為極小范數(shù)最小二乘的充要條件是G為B的廣義逆，這就說(shuō)明G是滿足該方程式的極小范數(shù)最小二乘解，也就是說(shuō)，我們得到未知參數(shù)的估值x~=Gl=VM-1000UHl。通過(guò)這種計(jì)算方法，我們求解方程組（c）就簡(jiǎn)單多了。3.2滿秩分解用于秩虧網(wǎng)平差滿秩分解，是指把秩
10、為r的m×n階矩陣A分解成A=FG，其中F是秩為r的m×r階矩陣，G是秩為r的r×n階矩陣。滿秩矩陣的解求利用Hermite行標(biāo)準(zhǔn)形來(lái)完成。把矩陣A經(jīng)過(guò)處等行變換成為Hermite行標(biāo)準(zhǔn)形B，B的j1,j2……,jr列為單位矩陣Im的前r列，令A(yù)的第j1,j2……,jr列為矩陣F，B的前r行為矩陣G，則有A=FG。在這里，秩虧網(wǎng)平差的數(shù)學(xué)模型還是前面提到的方程組（c），根據(jù)廣義逆理論，相容方程組Nx~-W=0雖有無(wú)窮多組解，但它有唯一的最小
