秩虧自由網(wǎng)平差方法比較分析文檔

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1、§8-2秩虧自由網(wǎng)平差2學(xué)時(shí)?在前面介紹的經(jīng)典平差中，都是以已知的起算數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，將控制網(wǎng)固定在已知數(shù)據(jù)上。如水準(zhǔn)網(wǎng)必須至少已知網(wǎng)中某一點(diǎn)的高程，平面網(wǎng)至少要已知一點(diǎn)的坐標(biāo)、一條邊的邊長(zhǎng)和一條邊的方位角。當(dāng)網(wǎng)中沒有必要的起算數(shù)據(jù)時(shí)，我們稱其為自由網(wǎng)，本節(jié)將介紹網(wǎng)中沒有起算數(shù)據(jù)時(shí)的平差方法，即自由網(wǎng)平差。在經(jīng)典間接平差中，網(wǎng)中具備必要的起算數(shù)據(jù)，誤差方程為（8-2-1）式中系數(shù)陣為列滿秩矩陣，其秩為。在最小二乘準(zhǔn)則下得到的法方程為（8-2-2）由于其系數(shù)陣的秩為，所以為滿秩矩陣，即為非奇異陣，具有凱利逆，因此具有唯一解，即（8-

2、2-3）當(dāng)網(wǎng)中無起算數(shù)據(jù)時(shí)，網(wǎng)中所有點(diǎn)均為待定點(diǎn)，設(shè)未知參數(shù)的個(gè)數(shù)為u，誤差方程為（8-2-4）式中為必要的起算數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。盡管增加了個(gè)參數(shù)，但的秩仍為必要觀測(cè)個(gè)數(shù)，即其中為不滿秩矩陣，稱為秩虧陣，其秩虧數(shù)為。組成法方程（8-2-5）式中，且，所以也為秩虧陣，秩虧數(shù)為：（8-2-6）由上式知，不同類型控制網(wǎng)的秩虧數(shù)就是經(jīng)典平差時(shí)必要的起算數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。即有：在控制網(wǎng)秩虧的情況下，法方程有解但不唯一。也就是說僅滿足最小二乘準(zhǔn)則，仍無法求得的唯一解，這就是秩虧網(wǎng)平差與經(jīng)典平差的根本區(qū)別。為求得唯一解，還必須增加新的約束條件，來達(dá)到求唯

3、一解的目的。秩虧自由網(wǎng)平差就是在滿足最小二乘和最小范數(shù)的條件下，求參數(shù)一組最佳估值的平差方法。下面將推導(dǎo)自由網(wǎng)平差常用兩種解法的有關(guān)計(jì)算公式。一、直接解法根據(jù)廣義逆理論，相容方程組雖然具有無窮多組解，但它有唯一的最小范數(shù)解，即：（8-2-7）式中，稱為矩陣的最小范數(shù)g逆。稱為矩陣的g逆。代入（8-2-7）式得（8-2-8）上式就是根據(jù)廣義逆理論直接求解參數(shù)的唯一最小范數(shù)解的公式。由于廣義逆計(jì)算較為復(fù)雜，下面將公式做進(jìn)一步改化：令（8-2-9）（8-2-10）式中行滿秩，即，于是有（8-2-11）而，所以為滿秩方陣，按照降階法求

4、矩陣廣義逆的方法，即：如果有矩陣其中存在凱利逆，則有的g逆（8-2-12）根據(jù)上式可得（8-2-13）代入（8-2-8）式，得（8-2-14）或?qū)懗桑?-2-15）未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為：（8-2-16）二、附加條件法（偽觀測(cè)值法）前面已提及，秩虧自由網(wǎng)平差就是在滿足最小二乘和最小范數(shù)的條件下，求參數(shù)一組最佳估值的平差方法，實(shí)際上就是求相容方程組的最小范數(shù)解。附加條件法的基本思想：由于網(wǎng)中沒有起算數(shù)據(jù)，平差時(shí)多選了d個(gè)未知參數(shù)，因此在u個(gè)參數(shù)之間必定滿足d個(gè)附加條件式，即在原平差函數(shù)模型中需要加入d個(gè)未知參數(shù)間的限制條件方程，從

5、而可以按附有條件的間接平差法求解。問題的關(guān)鍵是如何導(dǎo)出等價(jià)于的限制條件方程的具體形式。為敘述方便，我們先給出該限制條件方程，然后再推導(dǎo)平差計(jì)算公式，最后證明，在給定的限制條件方程下所求得的解，就是相容方程組的最小范數(shù)解。設(shè)等價(jià)于約束條件的限制條件方程為（8-2-17）式中且滿足稱為附加陣。故秩虧自由網(wǎng)平差的函數(shù)模型為權(quán)陣為按照附有條件的間接平差可得法方程（8-2-18）式中，且，唯一不同的是這里為秩虧陣。為解決秩虧問題，將（8-2-18）中的第二式左乘矩陣后，再加到第一組中得：（8-2-19）式中，且根據(jù)附有條件的間接平差原理

6、，上式的解為（8-2-20）（8-2-21）由于上述解是通過增加未知參數(shù)間滿足的d個(gè)附加條件，按照附有條件的間接平差法而實(shí)現(xiàn)的，因此人們把此法稱為附加條件法。但它又不同于經(jīng)典的附有條件的間接平差法，其主要表現(xiàn)為：當(dāng)陣滿足時(shí)，必定有下式成立（證明從略）（8-2-22）將（8-2-22）式代入（8-2-21）式，可得參數(shù)的解為（8-2-23）現(xiàn)在只需證明，按（8-2-23）式求得的解就是法方程的最小范數(shù)解。為此只需證明是的最小范數(shù)g逆中的一個(gè)即可，即只需證明滿足以下兩式：（8-2-24）現(xiàn)證明如下：因?yàn)?，所以有右乘陣并展開，則有而

7、，所以有（8-2-25）由于，存在逆陣，則有（8-2-26）所以有（8-2-27）（8-2-28）因此（8-2-24）第一式得到驗(yàn)證。由（8-2-27）式得考慮到（8-2-26）式，則上式為（8-2-29）（8-2-28）、（8-2-29）兩式說明是的最小范數(shù)g逆中的一個(gè)，因此按（8-2-23）式求得的一定是相容方程組的最小范數(shù)解。三、精度評(píng)定單位權(quán)中誤差估值的計(jì)算（8-2-30）式中可以直接計(jì)算，也可以按下式求得（8-2-31）未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為（8-2-32）實(shí)際計(jì)算時(shí)，通常要對(duì)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化后的陣用表示，即不僅要

8、求滿足，還要求滿足，此時(shí)（8-2-26）式變成，轉(zhuǎn)置后有，因此（8-2-32）式將變成如下形式（8-2-33）四、兩點(diǎn)說明①若將代入法方程，則法方程變?yōu)樯鲜较喈?dāng)于下列誤差方程聯(lián)合組成的法方程上式的第一式為觀測(cè)值的誤差方程，第二式可以看作是為求最小范數(shù)解而人為增設(shè)的d個(gè)虛擬誤差