馮慈璋馬西奎工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論課后重點(diǎn)習(xí)題解答

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1、1—2—2、求下列情況下，真空中帶電面之間的電壓。(2)、無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，半徑分別為和（），每單位長(zhǎng)度上電荷：內(nèi)柱為而外柱為。解：同軸圓柱面的橫截面如圖所示，做一長(zhǎng)為半徑為（）且與同軸圓柱面共軸的圓柱體。對(duì)此圓柱體的外表面應(yīng)用高斯通量定理，得考慮到此問(wèn)題中的電通量均為即半徑方向，所以電通量對(duì)圓柱體前后兩個(gè)端面的積分為0，并且在圓柱側(cè)面上電通量的大小相等，于是即，由此可得1—2—3、高壓同軸線(xiàn)的最佳尺寸設(shè)計(jì)——高壓同軸圓柱電纜，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為，內(nèi)外導(dǎo)體間電介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)為。內(nèi)導(dǎo)體的半徑為，其值可以自由選定但有一最佳值。因?yàn)樘螅瑑?nèi)外導(dǎo)體的間隙就變得很小，以至在給定的

2、電壓下，最大的會(huì)超過(guò)介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)。另一方面，由于的最大值總是在內(nèi)導(dǎo)體的表面上，當(dāng)很小時(shí)，其表面的必定很大。試問(wèn)為何值時(shí)，該電纜能承受最大電壓？并求此最大電壓。（擊穿場(chǎng)強(qiáng)：當(dāng)電場(chǎng)增大達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，使得電介質(zhì)中的束縛電荷能夠脫離它的分子而自由移動(dòng)，這時(shí)電介質(zhì)就喪失了它的絕緣性能，稱(chēng)為擊穿。某種材料能安全地承受的最大電場(chǎng)強(qiáng)度就稱(chēng)為該材料的擊穿強(qiáng)度）。解：同軸電纜的橫截面如圖，設(shè)同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體每單位長(zhǎng)度所帶電荷的電量為，則內(nèi)外導(dǎo)體之間及內(nèi)導(dǎo)表面上的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為，而內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為或即，1—3—3、兩種介質(zhì)分界面為平面，已知，，且分界面一側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度，其方向與分界面的

3、法線(xiàn)成的角，求分界面另一側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度的值。解：，根據(jù)，得，，于是：1—4—2、兩平行導(dǎo)體平板，相距為，板的尺寸遠(yuǎn)大于，一板的電位為0，另一板的電位為，兩板間充滿(mǎn)電荷，電荷體密度與距離成正比，即。試求兩極板之間的電位分布（注：處板的電位為0）。解：電位滿(mǎn)足的微分方程為其通解為：定解條件為：；由得由得，即于是1—4—3、寫(xiě)出下列靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題：（1）、電荷體密度為和（注：和為常數(shù)），半徑分別為與的雙層同心帶電球體（如題1—4—3圖（a））；（2）、在兩同心導(dǎo)體球殼間，左半部分和右半部分分別填充介電常數(shù)為與的均勻介質(zhì)，內(nèi)球殼帶總電量為，外球殼接地（題1—4—3圖b））；（

4、3）、半徑分別為與的兩無(wú)限長(zhǎng)空心同軸圓柱面導(dǎo)體，內(nèi)圓柱表面上單位長(zhǎng)度的電量為，外圓柱面導(dǎo)體接地（題1—4—3圖（c））。由于對(duì)稱(chēng)并假定同軸圓柱面很長(zhǎng)，因此介質(zhì)中的電位和及無(wú)關(guān)，即只是的函數(shù)，所以電位參考點(diǎn)：；邊界條件：，即1－7－3、在無(wú)限大接地導(dǎo)體平板兩側(cè)各有一個(gè)點(diǎn)電荷和，與導(dǎo)體平板的距離均為，求空間的電位分布。解：設(shè)接地平板及和如圖（a）所示。選一直角坐標(biāo)系，使得軸經(jīng)過(guò)和且正軸方向由指向，而，軸的方向與軸的方向符合右手螺旋關(guān)系且導(dǎo)體平板的表面在，平面內(nèi)。計(jì)算處的電場(chǎng)時(shí)，在（）處放一鏡像電荷，如圖（b）所示，用其等效在導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷，因此計(jì)算處的電場(chǎng)時(shí)，在（）

5、處放一鏡像電荷如圖（c）所示，用其等效在導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷，因此1－7－5、空氣中平行地放置兩根長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)，半徑都是2厘米，軸線(xiàn)間距離為12厘米。若導(dǎo)線(xiàn)間加1000V電壓，求兩圓柱體表面上相距最近的點(diǎn)和最遠(yuǎn)的點(diǎn)的電荷面密度。解：由于兩根導(dǎo)線(xiàn)為長(zhǎng)直平行導(dǎo)線(xiàn)，因此當(dāng)研究它們附近中部的電場(chǎng)時(shí)可將它們看成兩根無(wú)限長(zhǎng)且平行的直導(dǎo)線(xiàn)。在此假定下，可采用電軸法求解此題，電軸的位置及坐標(biāo)如圖所示。由于對(duì)稱(chēng)而設(shè)負(fù)電軸到點(diǎn)的距離矢量為，正電軸到點(diǎn)的距離矢量為（點(diǎn)應(yīng)在以為半徑的兩個(gè)圓之外），則點(diǎn)的電位為兩根導(dǎo)體之間的電壓為，因此右邊的圓的電位為，即由此可得于是由于兩根導(dǎo)線(xiàn)帶的異號(hào)電荷相互吸

6、引，因而在兩根導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)側(cè)最靠近處電場(chǎng)最強(qiáng)電荷密度最大，而在兩導(dǎo)線(xiàn)外側(cè)相距最遠(yuǎn)處電荷密度最小。1—8、對(duì)于空氣中下列各種電位函數(shù)分布，分別求電場(chǎng)強(qiáng)度和電荷體密度：（1）、（2）、（3）、（4）、解：求解該題目時(shí)注意梯度、散度在不同坐標(biāo)中的表達(dá)式不同。（1）、（2）、（3）、（4）、解：（1）、設(shè)內(nèi)球中的電位函數(shù)為，介質(zhì)的介電常數(shù)為，兩球表面之間的電位函數(shù)為，介質(zhì)的介電常數(shù)為，則，所滿(mǎn)足的微分方程分別為，選球坐標(biāo)系，則由于電荷對(duì)稱(chēng)，所以和均與、無(wú)關(guān)，即和只是的函數(shù)，所以，定解條件為：分界面條件：；電位參考點(diǎn)：；附加條件：為有限值（2）、設(shè)介電常數(shù)為的介質(zhì)中的電位函數(shù)為，介電

7、常數(shù)為的介質(zhì)中的電位函數(shù)為，則、所滿(mǎn)足的微分方程分別為，選球坐標(biāo)系，則由于外球殼為一個(gè)等電位面，內(nèi)球殼也為一個(gè)等電位面，所以和均與、無(wú)關(guān)，即和只是的函數(shù)，所以，分界面條件：由分解面條件可知。令，則在兩導(dǎo)體球殼之間電位滿(mǎn)足的微分方程為電位參考點(diǎn)：；邊界條件：，即（3）、設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為，介質(zhì)中的電位函數(shù)為，則所滿(mǎn)足的微分方程分別為，選球柱坐標(biāo)系，則1—9—4、一個(gè)由兩只同心導(dǎo)電球殼構(gòu)成的電容器，內(nèi)球半徑為，外球殼半徑為，外球殼很薄，其厚度可略去不計(jì)，兩球殼上所帶電荷分別是和，均勻分布在球面上。求這個(gè)同心球形電容器靜電能量。解：以球形電容器