§1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

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1、§1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（2課時）教學(xué)目標(biāo)：1．了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2．能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對多項式函數(shù)一般不超過三次；教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間教學(xué)難點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間教學(xué)過程：一．創(chuàng)設(shè)情景函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的贈與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的．通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解．下面，我們運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

2、的性質(zhì)，從中體會導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用．二．新課講授1．問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數(shù)的圖像．運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：（1）運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應(yīng)地，．（2）從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數(shù)．相應(yīng)地，．2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系．如圖3.3-3，

3、導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點處的切線的斜率．在處，，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞減．結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．說明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)．3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．三．典例分析例1．已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：當(dāng)時，；當(dāng)，或時，；當(dāng)，或時，試畫出函

4、數(shù)圖像的大致形狀．解：當(dāng)時，，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，或時，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)，或時，，這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”．綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示．例2．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間．（1）；（2）（3）；（4）解：（1）因為，所以，因此，在R上單調(diào)遞增，如圖3.3-5（1）所示．（2）因為，所以，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)的圖像如圖3.3-5（2）所示．（3）因為，所以，因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，如圖3.3-5（3）所示．（4）因為，所以．當(dāng)，即時，函數(shù)；當(dāng)，即時，函數(shù)；函數(shù)的圖像

5、如圖3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生練例3．如圖3.3-6，水以常速（即單位時間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度與時間的函數(shù)關(guān)系圖像．分析：以容器（2）為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況．解：思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函

6、數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．如圖3.3-7所示，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”，在或內(nèi)的圖像“平緩”．例4．求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．證明：因為當(dāng)即時，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．說明：證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟：（1）求導(dǎo)函數(shù)；（2）判斷在內(nèi)的符號；（3）做出結(jié)論：為增函數(shù)，為減函數(shù)．例5．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．解：，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，解之得：所以實數(shù)的取值范圍為．說明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)

7、性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解．例6．已知函數(shù)y=x+，試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：y′=(x+)′=1－1·x－2=令＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的單調(diào)減區(qū)間是(－1，0)和(0，1)四．課堂練習(xí)1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1.f(x)=2x3－6x2+72.f(x)=+2x3.f(x)=sinx,x4.y=xlnx2．課本練習(xí)五．回顧總結(jié)（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（2）求解函數(shù)

8、單調(diào)區(qū)間（3）證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性六．布置作業(yè)