《等比數(shù)列前n項(xiàng)和》教案分析

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1、《等比數(shù)列前n項(xiàng)和》教案分析《等比數(shù)列前n項(xiàng)和》教案分析一、教材分析1、地位和作用《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式》這一節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)和解決一類求和問題的重要基礎(chǔ)和有力工具。2、重點(diǎn)和難點(diǎn)本節(jié)的重點(diǎn)就是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其初步應(yīng)用；難點(diǎn)是公式的推導(dǎo)方法。3、教學(xué)目標(biāo)基于以上分析，按照《教學(xué)大綱》的要求及學(xué)生的素質(zhì)確定以下教學(xué)目標(biāo)：認(rèn)識(shí)目標(biāo)：理解并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)方法；熟練掌握運(yùn)用公式求和。素質(zhì)目標(biāo)：向?qū)W生滲透特殊到

2、一般、類比與轉(zhuǎn)化、分類與討論等數(shù)學(xué)思想。培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和數(shù)學(xué)思維的深刻性、廣闊性等思維品質(zhì)。4、教學(xué)方法本節(jié)將采用“多媒體優(yōu)化組合—激勵(lì)—發(fā)現(xiàn)”式教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)。該模式能夠?qū)⒔虒W(xué)過程中的各要素，如教師、學(xué)生、教材、教法等進(jìn)行積極的整合，使其融為一體，創(chuàng)造最佳的教學(xué)氛圍。、教學(xué)手段教學(xué)中，利用投影儀、微機(jī)這些現(xiàn)代化教學(xué)媒體激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟迪學(xué)生思維，增大堂容量，提高堂效率。二、教學(xué)過程1、題的引入首先給出以下實(shí)例引例：某建筑隊(duì)，由于資金短缺，向某磚廠賒借紅磚蓋房，雙方約定，在一個(gè)月（30天）內(nèi)，磚廠每天向建筑隊(duì)提供

3、10000塊磚，為了還本付息，建筑隊(duì)第一天要向廠方返還1塊磚，第二天返還2塊磚，第三天返還4塊磚，……。即每天返還的磚數(shù)是前一天的2倍，請問，假如你是廠長或是建筑隊(duì)長，你會(huì)在這個(gè)合約上簽字嗎？這是一個(gè)懸念式的實(shí)例，后面的“假如”又把學(xué)生帶入了實(shí)例創(chuàng)設(shè)的情境，讓學(xué)生直接參與了“市場經(jīng)濟(jì)”。根據(jù)心理學(xué)，情境具有暗示作用，在暗示作用下，學(xué)生自覺不自覺地參與了情境中的角色，這樣他們的學(xué)習(xí)積極性和思維活動(dòng)就會(huì)極大的調(diào)動(dòng)起。在教師的誘導(dǎo)下，學(xué)生根據(jù)自己掌握的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，很快建立起兩個(gè)等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型。（演示）如屏幕顯示，數(shù)列{an}是以1

4、0000為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，即常數(shù)列。數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。當(dāng)學(xué)生躍躍欲試要求這兩個(gè)數(shù)列的和的時(shí)候，題的引入已經(jīng)水到渠成。教師再由特殊到一般、具體到抽象的啟示，正式引入題。2、公式的推導(dǎo)這里我講述的主要是怎樣利用多媒體激勵(lì)、啟發(fā)學(xué)生思維，突破教材難點(diǎn)。等比數(shù)列有兩大類：公比q=1和q1兩種情形當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1當(dāng)q1時(shí)，Sn=a1+a1q+……+a1qn-1=q1時(shí)，Sn的結(jié)果是怎么推導(dǎo)出的呢？本節(jié)的難點(diǎn)就在于此。預(yù)習(xí)過本的學(xué)生會(huì)知道這個(gè)結(jié)果以及推導(dǎo)過程，但是他們知其然而不知其所以然，可以說

5、大部分學(xué)生根據(jù)他們掌握的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是難以推出這個(gè)公式的。因此，要通過復(fù)習(xí)等差數(shù)列的求和公式，借助推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法，找出推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的方法?。ㄑ菔荆┫旅嫜菔疽幌碌炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程?，F(xiàn)在將a1與an，a2與an-1，所有與首末等距兩項(xiàng)交換位置，得到Sn的倒序和的形式。然后兩式相加。這樣2Sn就是一個(gè)有n項(xiàng)的每一項(xiàng)都是a1+an的常數(shù)列。從而導(dǎo)出了Sn的公式。等差數(shù)列的求和方法是根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)和根據(jù)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知水平產(chǎn)生的，形式上是倒序相加，本質(zhì)上就是消去數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)之間的差異，構(gòu)造一個(gè)

6、新的各項(xiàng)相同的常數(shù)列，然后根據(jù)常數(shù)列的和導(dǎo)出Sn的公式。那么等比數(shù)列是不是也可以用倒序相加的方法，構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列或者部分常數(shù)列呢？讓學(xué)生親自去試一試，結(jié)果呢？顯然倒序是行不通的。這時(shí)教師的主要任務(wù)是要讓學(xué)生的思維迅速發(fā)散——從倒序相加的定勢中解脫出。抓住學(xué)生迫切想解決這個(gè)問題的心態(tài)，及時(shí)地通過媒體進(jìn)行啟發(fā)。老師要告訴學(xué)生，構(gòu)造常數(shù)列或者部分常數(shù)列的思路是正確的。既然倒序行不通，那么還有沒有其它的方式構(gòu)造常數(shù)列呢？接著要引導(dǎo)學(xué)生從等比數(shù)列的定義出發(fā)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)等比數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的q倍，也就是說將每一項(xiàng)乘以q以后

7、就變成了它的后一項(xiàng)，那么將Sn這個(gè)和式的兩邊同時(shí)乘以q，在qSn這個(gè)和式中的第一項(xiàng)就是Sn的第二項(xiàng)也就是Sn和qSn之間產(chǎn)生了一個(gè)錯(cuò)位。由兩個(gè)和式能否構(gòu)造常數(shù)列或者部分常數(shù)列的和式呢？相加行不行？顯然不行！相減行不行？顯然行。將Sn和qSn相減后，中間就得到了n－1項(xiàng)各項(xiàng)都是0的常數(shù)列,找到了這個(gè)常數(shù)列，難點(diǎn)就突破了，Sn的導(dǎo)出就容易了，導(dǎo)出了Sn就基本上達(dá)到了本節(jié)的認(rèn)知目標(biāo)。為了加深理解，這時(shí)還應(yīng)該對等差、等比兩種數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)過程進(jìn)行類比和分析：兩種數(shù)列求和的基本思路都是構(gòu)造常數(shù)列，構(gòu)造常數(shù)列的思想也是其他一些數(shù)列求和

8、的基本思想。等比數(shù)列在構(gòu)造常數(shù)列的過程中，采用“錯(cuò)位相減”，等差數(shù)列采用的是“倒序相加”，倒序相加本質(zhì)上也是“錯(cuò)位相加”，是一種大幅度的“錯(cuò)位相加”，等比數(shù)列只不過是步幅為1的小幅度的“錯(cuò)位相加”。說明一下，在Sn的和式中，兩邊同時(shí)乘以q是解決問題——構(gòu)造常數(shù)列