資源描述：
《空間向量與立體幾何典型例題》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、空間向量與立體幾何典型例題一、選擇題：1．(2008全國(guó)Ⅰ卷理)已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（C）A．B．C．D．1.解：C．由題意知三棱錐為正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)為，則，棱柱的高（即點(diǎn)到底面的距離），故與底面所成角的正弦值為.另解：設(shè)為空間向量的一組基底，的兩兩間的夾角為長(zhǎng)度均為，平面的法向量為,則與底面所成角的正弦值為.二、填空題：1．(2008全國(guó)Ⅰ卷理)等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點(diǎn)，則所成角的余弦值等于．1題圖（1）1
2、.答案：.設(shè)，作，則，為二面角的平面角，結(jié)合等邊三角形與正方形可知此四棱錐為正四棱錐，則,1題圖（2）故所成角的余弦值另解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則點(diǎn),,則,故所成角的余弦值.三、解答題：1．（2008安徽文）如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，,,,為的中點(diǎn)。（Ⅰ）求異面直線AB與MD所成角的大??；（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。1．方法一（綜合法）（1）為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）作連接，所以與所成角的大小為（２）點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，又,
3、線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離，，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為方法二(向量法)作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)與所成的角為,,與所成角的大小為(2)設(shè)平面OCD的法向量為,則即取,解得設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值,,.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為2．（2008安徽理）如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，,,,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。（Ⅰ）證明：直線；（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大??；（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。2．方法一（綜合
4、法）（1）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE又（2）為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）作連接，所以與所成角的大小為（3）點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，又,線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離，，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為方法二(向量法)作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)平面OCD的法向量為,則即取,解得(2)設(shè)與所成的角為,,與所成角的大小為(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的交流為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值,由,得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為3．（2
5、008北京文）如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求證：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.3．解法一：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD，CD.∵AP=BP，∴PD⊥AB.∵AC=BC.∴CD⊥AB.∵PD∩CD＝D.∴AB⊥平面PCD.∵PC平面PCD，∴PC⊥AB.（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC，∴PC⊥BC.又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴AB＝BP，∴BE⊥AP.∵EC是BE
6、在平面PAC內(nèi)的射影，∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=，∴sin∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小為aresin解法二：（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC.∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C,∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC，∴PC⊥AB.(Ⅱ)如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.設(shè)P（0，0，t）,∵｜PB｜=｜AB｜＝2，∴t=2,P(
7、0,0,2).取AP中點(diǎn)E，連結(jié)BE，CE.∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,∴CE⊥AP,BE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.∵E(0,1,1),∴cos∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小為arccosACBDP4．（2008北京理）如圖，在三棱錐中，，，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．4．解法一：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．，．，．，平面．平面，．ACBEP（Ⅱ），，．又，．又，即，且，平面．取中點(diǎn)．連結(jié)．，．是在平面內(nèi)的射影，．是二面角的平面角．在中，
8、，，，．ACBDPH二面角的大小為．（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，平面平面．過(guò)作，垂足為．平面平面，平面．的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離．由（Ⅰ）知，又，且，平面．平面，．在中，，，．．點(diǎn)到平面的距離為．解法二：（Ⅰ），，．又，．，平面．平面，．（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．ACBPzxyHE則．設(shè)．，，．取中點(diǎn)，連結(jié)．，，，．是二面角的平面角．，，，．二面角的大小為．（Ⅲ），在平面內(nèi)的射影為正的中心，且的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面
