資源描述：
《空間向量與立體幾何典型例題》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、空間向量與立體幾何典型例題一、選擇題：1．(2008全國Ⅰ卷理)已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（C）A．B．C．D．1.解：C．由題意知三棱錐為正四面體，設棱長為，則，棱柱的高（即點到底面的距離），故與底面所成角的正弦值為.另解：設為空間向量的一組基底，的兩兩間的夾角為長度均為，平面的法向量為,則與底面所成角的正弦值為.二、填空題：1．(2008全國Ⅰ卷理)等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點，則所成角的余弦值等于．1題圖
2、（1）1.答案：.設，作，則，為二面角的平面角，結合等邊三角形與正方形可知此四棱錐為正四棱錐，則,1題圖（2）故所成角的余弦值另解：以為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，則點,,則,故所成角的余弦值.三、解答題：1．（2008安徽文）如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，,,,為的中點。（Ⅰ）求異面直線AB與MD所成角的大小；（Ⅱ）求點B到平面OCD的距離。1．方法一（綜合法）（1）為異面直線與所成的角（或其補角）作連接，所以與所成角的大小為（２）點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點
3、A作于點Q，又,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離，，所以點B到平面OCD的距離為方法二(向量法)作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系,(1)設與所成的角為,,與所成角的大小為(2)設平面OCD的法向量為,則即取,解得設點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值,,.所以點B到平面OCD的距離為2．（2008安徽理）如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，,,,為的中點，為的中點。（Ⅰ）證明：直線；（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；（Ⅲ）求點B到平面OCD
4、的距離。2．方法一（綜合法）（1）取OB中點E，連接ME，NE又（2）為異面直線與所成的角（或其補角）作連接，所以與所成角的大小為（3）點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點A作于點Q，又,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離，，所以點B到平面OCD的距離為方法二(向量法)作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系,(1)設平面OCD的法向量為,則即取,解得(2)設與所成的角為,,與所成角的大小為(3)設點B到平面OCD的交流為,則為在向量上的投影的絕對值,由,得.所以
5、點B到平面OCD的距離為3．（2008北京文）如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求證：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.3．解法一：（Ⅰ）取AB中點D，連結PD，CD.∵AP=BP，∴PD⊥AB.∵AC=BC.∴CD⊥AB.∵PD∩CD＝D.∴AB⊥平面PCD.∵PC平面PCD，∴PC⊥AB.（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC，∴PC⊥BC.又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，
6、∴AB＝BP，∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC內的射影，∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=，∴sin∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小為aresin解法二：（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC.∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C,∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC，∴PC⊥AB.(Ⅱ)如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz.則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.設P（0，0
7、，t）,∵｜PB｜=｜AB｜＝2，∴t=2,P(0,0,2).取AP中點E，連結BE，CE.∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,∴CE⊥AP,BE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.∵E(0,1,1),∴cos∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小為arccosACBDP4．（2008北京理）如圖，在三棱錐中，，，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的大??；（Ⅲ）求點到平面的距離．4．解法一：（Ⅰ）取中點，連結．，．，．，平面．平面，．ACBEP（Ⅱ），，．又，．又，即，且，平面．取中點
8、．連結．，．是在平面內的射影，．是二面角的平面角．在中，，，，．ACBDPH二面角的大小為．（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，平面平面．過作，垂足為．平面平面，平面．的長即為點到平面的距離．由（Ⅰ）知，又，且，平面．平面，．在中，，，．．點到平面的距離為．解法二：（Ⅰ），，．又，．，平面．平面，．（Ⅱ）如圖，以為原點建立空間直角坐標系．ACBPzxyHE則．設．，，．取中點，連結．，，，．是二面角的平面角．，，，．二面角的大小為．（Ⅲ），在平面內的射影為正的中心，且的長為點到平面
