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1、熱傳導方程的導出及其定解問題的導出1.熱傳導方程的導出考察空間某物體G的熱傳導問題。以函數(shù)u(x,y,z,t)表示物體G在位置(x,y,z)及時刻t的溫度。依據(jù)傳熱學中的Fourier實驗定律，物體在無窮小時段dt內沿法線方向n流過一個無窮小面積dS的熱量dQ與物體溫度沿曲面dS法線方向的方向導數(shù)?u成正比，即?ndQ??k(x,y,z)?udSdt(1-1)?n其中k(x,y,z)稱為物體在點(x,y,z)處的熱傳導系數(shù)，它應取正值。(1-1)式中負號的出現(xiàn)是由于熱量總是從溫度高的一側流向低的一側，因此dQ應
2、和?u異號。?n在物體G內任取一閉曲面?，它所包圍的區(qū)域記為?，由(1-1)式，從時刻t1到t2流進此閉曲面的全部熱量為?u?t?Q??t12????k(x,y,z)dS?dt?n???u表示u沿?上單位外法線方向n的方向導數(shù)。?n(1-2)這里流入的熱量使物體內部的溫度發(fā)生變化，在實踐間隔(t1,t2)中物體溫度從u(x,y,z,t1)變化到u(x,y,z,t2)，它所應該吸收的熱量是???c(x,y,z)?(x,y,z)[u(x,y,z,t2)?u(x,y,z,t1)]dxdydz?其中c為比熱，?為密度。
3、因此就成立?t2????k(x,y,z)1t???u?dS?dt????c(x,y,z)?(x,y,z)[u(x,y,z,t2)?u(x,y,z,t1)]dxdydz?n??(1-3)假設函數(shù)u關于變量x,y,z具有二階連續(xù)偏導數(shù)，關于t具有一階連續(xù)偏導數(shù)，利用格林公式，可以把(1-3)化為????u????u????u???t2?u?k?k?kdxdydzdt?c?dt?dxdydz???????????t1???????x??y??y??z??z?????x????t?t2t1交換積分次序，就得到??u??
4、?u????u????u????k?????c????k???k??dxdydzdt?0?t?x??x??y??y??z??z????t2t1(1-4)由于t1,t2,?都是任意的，我們得到c??u???u????u????u???k???k???k??t?x??x??y??y??z??z?(1-5)(1-5)式稱為非均勻的各向同性體得熱傳導方程。如果物體是均勻的，此時k,c,?均為常數(shù)，記k?a2，即得c?2?u?2u?2u?2??u?a?2?2?2??t?y?z???x(1-6)如果考查的物體內部有熱源（例
5、如物體中通有電流或有化學反應等情況），則在熱傳導方程的推導中還需要考慮熱源的影響。若設在單位實踐內單位體積中所產生的熱量為F(x,y,z,t)，則在考慮熱平衡時，(1-3)式左邊應再加上一項?t1???F(x,y,z,t)dxdydzdt?t2于是，相應于(1-6)的熱傳導方程應改為其中2?u?2u?2u?2??u?a?2?2?2??f(x,y,z,t)?t?y?z???x(1-7)f(x,y,z,t)?F(x,y,z,t)。(1-8)c?(1-6)稱為齊次熱傳導方程，而(1-7)稱為非齊次熱傳導方程。2.定解
6、問題的提法從物理學角度來看，如果知道了物體在邊界上的溫度狀況（或熱交換情況）和物體在初始時刻的溫度，就可以完全確定物體在以后時刻的溫度。因此熱傳導方程最自然的一個定解問題就是在已給的初始條件和邊界條件下求問題的解。2.1初始條件的提法初始條件的提法顯然為u(x,y,z,0)??(x,y,z)(1-9)其中?(x,y,z)為已知函數(shù)，表示物體在t?0時的溫度分布。2.2邊界條件的提法2.2.1第一邊界條件（狄利克雷（Dirichlet）條件）最簡單的情況為物體的表面溫度是已知的，這條件的數(shù)學形式為u(x,y,z,
7、t)
8、(x,y,z)???g(x,y,z,t)(1-10)其中?表示物體的邊界曲面，g(x,y,z,t)是定義在(x,y,z)??,0?t?T上的已知函數(shù)。這種邊界條件稱為熱傳導方程的第一類邊界條件（又稱狄利克雷（Dirichlet）條件）。2.2.2第二邊界條件（諾依曼（Neumann）條件）在物體的表面上知道的不是它的表面溫度而是熱量在表面各點的流速，也就是說在表面各點的單位面積上在單位時間內所流過的熱量Q是已知的。根據(jù)Fourier定律dQ?u??kdSdt?n就可明白，這種邊界條件實際上表示溫度u在表面
9、上的法向導數(shù)是已知的。這條件的數(shù)學形式為?u?g(x,y,z,t)?n(x,y,z)??(1-11)這里?u表示u沿邊界?上的單位外法線方向n的方向導數(shù)，而g(x,y,z,t)是定義在?n(x,y,z)??,0?t?T上的已知函數(shù)。這種邊界稱為熱傳導方程的第二類邊界條件。2.2.3第三類邊界條件今考察物體放在介質（例如空氣）中的情形：我們能測量到得只是與物體接觸處的介質溫度u1，它與物
