熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出及其定解問(wèn)題的導(dǎo)出

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1、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出及其定解問(wèn)題的導(dǎo)出1.熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出考察空間某物體G的熱傳導(dǎo)問(wèn)題。以函數(shù)u(x,y,z,t)表示物體G在位置(x,y,z)及時(shí)刻t的溫度。依據(jù)傳熱學(xué)中的Fourier實(shí)驗(yàn)定律，物體在無(wú)窮小時(shí)段dt內(nèi)沿法線方向n流過(guò)一個(gè)無(wú)窮小面積dS的熱量dQ與物體溫度沿曲面dS法線方向的方向?qū)?shù)?u成正比，即?ndQ??k(x,y,z)?udSdt(1-1)?n其中k(x,y,z)稱為物體在點(diǎn)(x,y,z)處的熱傳導(dǎo)系數(shù)，它應(yīng)取正值。(1-1)式中負(fù)號(hào)的出現(xiàn)是由于熱量總是從溫度高的一側(cè)流向低的一側(cè)，因此dQ應(yīng)

2、和?u異號(hào)。?n在物體G內(nèi)任取一閉曲面?，它所包圍的區(qū)域記為?，由(1-1)式，從時(shí)刻t1到t2流進(jìn)此閉曲面的全部熱量為?u?t?Q??t12????k(x,y,z)dS?dt?n???u表示u沿?上單位外法線方向n的方向?qū)?shù)。?n(1-2)這里流入的熱量使物體內(nèi)部的溫度發(fā)生變化，在實(shí)踐間隔(t1,t2)中物體溫度從u(x,y,z,t1)變化到u(x,y,z,t2)，它所應(yīng)該吸收的熱量是???c(x,y,z)?(x,y,z)[u(x,y,z,t2)?u(x,y,z,t1)]dxdydz?其中c為比熱，?為密度。

3、因此就成立?t2????k(x,y,z)1t???u?dS?dt????c(x,y,z)?(x,y,z)[u(x,y,z,t2)?u(x,y,z,t1)]dxdydz?n??(1-3)假設(shè)函數(shù)u關(guān)于變量x,y,z具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于t具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，利用格林公式，可以把(1-3)化為????u????u????u???t2?u?k?k?kdxdydzdt?c?dt?dxdydz???????????t1???????x??y??y??z??z?????x????t?t2t1交換積分次序，就得到??u??

4、?u????u????u????k?????c????k???k??dxdydzdt?0?t?x??x??y??y??z??z????t2t1(1-4)由于t1,t2,?都是任意的，我們得到c??u???u????u????u???k???k???k??t?x??x??y??y??z??z?(1-5)(1-5)式稱為非均勻的各向同性體得熱傳導(dǎo)方程。如果物體是均勻的，此時(shí)k,c,?均為常數(shù)，記k?a2，即得c?2?u?2u?2u?2??u?a?2?2?2??t?y?z???x(1-6)如果考查的物體內(nèi)部有熱源（例

5、如物體中通有電流或有化學(xué)反應(yīng)等情況），則在熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)中還需要考慮熱源的影響。若設(shè)在單位實(shí)踐內(nèi)單位體積中所產(chǎn)生的熱量為F(x,y,z,t)，則在考慮熱平衡時(shí)，(1-3)式左邊應(yīng)再加上一項(xiàng)?t1???F(x,y,z,t)dxdydzdt?t2于是，相應(yīng)于(1-6)的熱傳導(dǎo)方程應(yīng)改為其中2?u?2u?2u?2??u?a?2?2?2??f(x,y,z,t)?t?y?z???x(1-7)f(x,y,z,t)?F(x,y,z,t)。(1-8)c?(1-6)稱為齊次熱傳導(dǎo)方程，而(1-7)稱為非齊次熱傳導(dǎo)方程。2.定解

6、問(wèn)題的提法從物理學(xué)角度來(lái)看，如果知道了物體在邊界上的溫度狀況（或熱交換情況）和物體在初始時(shí)刻的溫度，就可以完全確定物體在以后時(shí)刻的溫度。因此熱傳導(dǎo)方程最自然的一個(gè)定解問(wèn)題就是在已給的初始條件和邊界條件下求問(wèn)題的解。2.1初始條件的提法初始條件的提法顯然為u(x,y,z,0)??(x,y,z)(1-9)其中?(x,y,z)為已知函數(shù)，表示物體在t?0時(shí)的溫度分布。2.2邊界條件的提法2.2.1第一邊界條件（狄利克雷（Dirichlet）條件）最簡(jiǎn)單的情況為物體的表面溫度是已知的，這條件的數(shù)學(xué)形式為u(x,y,z,

7、t)

8、(x,y,z)???g(x,y,z,t)(1-10)其中?表示物體的邊界曲面，g(x,y,z,t)是定義在(x,y,z)??,0?t?T上的已知函數(shù)。這種邊界條件稱為熱傳導(dǎo)方程的第一類邊界條件（又稱狄利克雷（Dirichlet）條件）。2.2.2第二邊界條件（諾依曼（Neumann）條件）在物體的表面上知道的不是它的表面溫度而是熱量在表面各點(diǎn)的流速，也就是說(shuō)在表面各點(diǎn)的單位面積上在單位時(shí)間內(nèi)所流過(guò)的熱量Q是已知的。根據(jù)Fourier定律dQ?u??kdSdt?n就可明白，這種邊界條件實(shí)際上表示溫度u在表面

9、上的法向?qū)?shù)是已知的。這條件的數(shù)學(xué)形式為?u?g(x,y,z,t)?n(x,y,z)??(1-11)這里?u表示u沿邊界?上的單位外法線方向n的方向?qū)?shù)，而g(x,y,z,t)是定義在?n(x,y,z)??,0?t?T上的已知函數(shù)。這種邊界稱為熱傳導(dǎo)方程的第二類邊界條件。2.2.3第三類邊界條件今考察物體放在介質(zhì)（例如空氣）中的情形：我們能測(cè)量到得只是與物體接觸處的介質(zhì)溫度u1，它與物