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1、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出及其定解問(wèn)題的導(dǎo)出1.熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出考察空間某物體G的熱傳導(dǎo)問(wèn)題。以函數(shù)表示物體G在位置及時(shí)刻t的溫度。依據(jù)傳熱學(xué)中的Fourier實(shí)驗(yàn)定律，物體在無(wú)窮小時(shí)段dt內(nèi)沿法線方向n流過(guò)一個(gè)無(wú)窮小面積dS的熱量dQ與物體溫度沿曲面dS法線方向的方向?qū)?shù)成正比，即(1-1)其中稱為物體在點(diǎn)處的熱傳導(dǎo)系數(shù)，它應(yīng)取正值。式中負(fù)號(hào)的出現(xiàn)是由于熱量總是從溫度高的一側(cè)流向低的一側(cè)，因此應(yīng)和異號(hào)。在物體G內(nèi)任取一閉曲面，它所包圍的區(qū)域記為，由式，從時(shí)刻到流進(jìn)此閉曲面的全部熱量為(1-2)這里表示沿上單位外法線方向n的方向?qū)?shù)。流入的熱量使物體內(nèi)部的溫度發(fā)生變化，在實(shí)
2、踐間隔中物體溫度從變化到，它所應(yīng)該吸收的熱量是其中為比熱，為密度。因此就成立(1-3)假設(shè)函數(shù)關(guān)于變量具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于t具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，利用格林公式，可以把化為交換積分次序，就得到(1-4)由于都是任意的，我們得到(1-5)式稱為非均勻的各向同性體得熱傳導(dǎo)方程。如果物體是均勻的，此時(shí)均為常數(shù)，記，即得(1-6)如果考查的物體內(nèi)部有熱源（例如物體中通有電流或有化學(xué)反應(yīng)等情況），則在熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)中還需要考慮熱源的影響。若設(shè)在單位實(shí)踐內(nèi)單位體積中所產(chǎn)生的熱量為，則在考慮熱平衡時(shí)，式左邊應(yīng)再加上一項(xiàng)于是，相應(yīng)于的熱傳導(dǎo)方程應(yīng)改為(1-7)其中。(1-8)稱
3、為齊次熱傳導(dǎo)方程，而稱為非齊次熱傳導(dǎo)方程。2.定解問(wèn)題的提法從物理學(xué)角度來(lái)看，如果知道了物體在邊界上的溫度狀況（或熱交換情況）和物體在初始時(shí)刻的溫度，就可以完全確定物體在以后時(shí)刻的溫度。因此熱傳導(dǎo)方程最自然的一個(gè)定解問(wèn)題就是在已給的初始條件和邊界條件下求問(wèn)題的解。2.1初始條件的提法初始條件的提法顯然為(1-9)其中為已知函數(shù)，表示物體在時(shí)的溫度分布。2.2邊界條件的提法2.2.1第一邊界條件（狄利克雷（Dirichlet）條件）最簡(jiǎn)單的情況為物體的表面溫度是已知的，這條件的數(shù)學(xué)形式為(1-10)其中表示物體的邊界曲面，是定義在上的已知函數(shù)。這種邊界條件稱為熱傳導(dǎo)
4、方程的第一類邊界條件（又稱狄利克雷（Dirichlet）條件）。2.2.2第二邊界條件（諾依曼（Neumann）條件）在物體的表面上知道的不是它的表面溫度而是熱量在表面各點(diǎn)的流速，也就是說(shuō)在表面各點(diǎn)的單位面積上在單位時(shí)間內(nèi)所流過(guò)的熱量是已知的。根據(jù)Fourier定律就可明白，這種邊界條件實(shí)際上表示溫度在表面上的法向?qū)?shù)是已知的。這條件的數(shù)學(xué)形式為(1-11)這里表示沿邊界上的單位外法線方向的方向?qū)?shù)，而是定義在上的已知函數(shù)。這種邊界稱為熱傳導(dǎo)方程的第二類邊界條件。2.2.3第三類邊界條件今考察物體放在介質(zhì)（例如空氣）中的情形：我們能測(cè)量到得只是與物體接觸處的介質(zhì)溫
5、度，它與物體表面上的溫度往往并不相同。在已知時(shí)研究邊界條件的提法還必須利用物理中另一個(gè)熱傳導(dǎo)實(shí)驗(yàn)定律（牛頓定律）：從物體流到介質(zhì)中的熱量和兩者的溫度差成正比：(1-12)這里的比例常數(shù)稱為熱交換系數(shù)，它也取正值?？疾炝鬟^(guò)物體表面的熱量，從物體的內(nèi)部來(lái)看它應(yīng)由Fourier定律確定，而從介質(zhì)方面來(lái)看則應(yīng)由牛頓定律所確定，因此成立者關(guān)系式即由于均為正數(shù)，因此這種邊界條件可以寫成(1-13)這里表示沿邊界上的單位外法線方向的方向?qū)?shù)，而是定義在上的已知函數(shù)，為已知正數(shù)。這種邊界稱為熱傳導(dǎo)方程的第三類邊界條件。又如果所考察的物體體積很大，而所需知道的只是在較短時(shí)間和較小范
6、圍內(nèi)的溫度變化情況，邊界條件所產(chǎn)生的影響可以忽略，這時(shí)就不妨把所考察的物體視為充滿整個(gè)空間，而定解問(wèn)題就變成柯西問(wèn)題，此時(shí)的初值條件為(1-14)3.一維和二維情況在適當(dāng)?shù)那闆r下，方程中描述空間坐標(biāo)的獨(dú)立變量的數(shù)目還可以減少。例如當(dāng)物體是均勻細(xì)桿時(shí)，假設(shè)它的側(cè)面是絕熱的，也就是說(shuō)不產(chǎn)生熱交換，又假定溫度的分布在同一截面是相同的，則溫度函數(shù)僅與坐標(biāo)及時(shí)間有關(guān)，我們就得到一維熱傳導(dǎo)方程(1-15)同樣，如考慮薄片的熱傳導(dǎo)，薄片的側(cè)面絕熱，可得二維熱傳導(dǎo)方程(1-16)對(duì)于這種低維的熱傳導(dǎo)方程，也可以提出前述的柯西問(wèn)題與初邊值問(wèn)題。4.擴(kuò)散方程在研究分子擴(kuò)散過(guò)程中也會(huì)遇
7、到類似的方程。例如氣體的擴(kuò)散，液體的滲透，半導(dǎo)體材料中的雜質(zhì)擴(kuò)散等。下面，我們來(lái)導(dǎo)出擴(kuò)散過(guò)程所必須滿足的數(shù)學(xué)方程。擴(kuò)散方程與熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出極為相似，只要將擴(kuò)散過(guò)程所滿足的物理規(guī)律與熱傳導(dǎo)過(guò)程所滿足的物理定律作個(gè)類比，擴(kuò)散方程就不難寫出。在推導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的過(guò)程中起基本作用的是Fourier定律與熱量守恒定律（即與式）。在考慮擴(kuò)散過(guò)程時(shí)，我們遇到的是相應(yīng)的擴(kuò)散定律與質(zhì)量守恒定律，它們的形式是(1-17)(1-18)其中N表示擴(kuò)散物質(zhì)的濃度，dm表示在無(wú)窮小時(shí)段dt內(nèi)沿法線方向n經(jīng)過(guò)一個(gè)無(wú)窮小面積dS的擴(kuò)散物質(zhì)的質(zhì)量，式中D(x,y,z)稱為擴(kuò)散系數(shù)。將、與、比較，可
8、見其形式是
