matlab對線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析

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1、MATLAB對線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析摘要：本文對線性系統(tǒng)從時(shí)域、復(fù)域和頻域進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，總結(jié)了控制系統(tǒng)的主要判據(jù)，分析過程簡單，結(jié)合實(shí)例驗(yàn)證了其真實(shí)性、有效性。關(guān)鍵詞：線性系統(tǒng)穩(wěn)定性MATLAB引言：一個(gè)控制系統(tǒng)要能正常工作,必須首先是一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng),即當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾后,雖然它的平衡狀態(tài)被破壞,但在外擾去掉以后,它仍有能力自動(dòng)地在平衡狀態(tài)下繼續(xù)工作。在已知一個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)或狀態(tài)空間表達(dá)式時(shí),就可以對其系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。但當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時(shí),繪圖和計(jì)算需要花費(fèi)大量的時(shí)間和精力。MATLAB是一

2、套高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化軟件,并擁有幾十個(gè)工具箱,借助MATLAB的系統(tǒng)工具箱,就可以直觀、方便地分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性定義關(guān)于穩(wěn)定性的定義有許多種，較典型的說法有兩種：一種是由俄國學(xué)者李雅普諾夫首先提出的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性，另一種指系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。對于線線控制系統(tǒng)而言，這兩種說法是等價(jià)的。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以定義如下：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng)的影響下，其過渡過程隨著時(shí)間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，簡稱為穩(wěn)定；反之，若在初始擾動(dòng)影響下，系統(tǒng)

3、的過渡過程隨時(shí)間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)為不穩(wěn)定。由上述穩(wěn)定性定義可以推知，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部，或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于左半S開平面（不包括虛軸）。2、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法概述在經(jīng)典控制理論中，常用時(shí)域分析法、復(fù)域分析法或頻率分析法來分析控制系統(tǒng)的性能。不同的方法有不同的適用范圍，下面對上述方法進(jìn)行具體研究。2.1時(shí)域分析法在經(jīng)典控制理論中，時(shí)域分析法是一種直接在時(shí)間域中對系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析的方法，具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，并且可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息。在

4、時(shí)域分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須研究在輸入信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)趨于最終期值h（∞）。顯然，一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，其時(shí)域響應(yīng)曲線必須是衰減的。2.2復(fù)域分析法在復(fù)域中進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，尤其當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)K的變化時(shí)，選定合適的參數(shù)范圍使系統(tǒng)達(dá)到所需要穩(wěn)定要求。有兩種方法：一是直接法，即對于較易得到系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的場合，直接求出系統(tǒng)所有閉環(huán)極點(diǎn)，判斷是否都具有負(fù)實(shí)部來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性；二是根軌跡法，利用系統(tǒng)開閉環(huán)傳遞繪制根軌跡，由線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于左半S開平面（

5、不包括虛軸），確定使根軌跡在左半S開平面部分時(shí)參數(shù)范圍為系統(tǒng)穩(wěn)定的區(qū)域。2.2.1直接法9假設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)為=，則其特征方程寫成一般形式：(1)若n≤2，可直接求取其特征方程根（即閉環(huán)極點(diǎn)）來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，即使（1）有待定參數(shù)，也容易求出特征方程根的一般形式，但對于求取n>3的高階系統(tǒng)特征方程式的根很麻煩，所以對高階系統(tǒng)一般都采用間接法來判斷穩(wěn)定性，在時(shí)域中常采用間接方法是代數(shù)判據(jù)（也稱勞斯判據(jù)）。2.2.2根軌跡法根軌跡法是一種圖解方法，這種方法是根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)的分布來研究系統(tǒng)中可變參數(shù)變化時(shí)

6、，系統(tǒng)閉環(huán)特征根的變化規(guī)律，從而研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，根軌跡法在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中是一種很實(shí)用的工程方法。它的最大特點(diǎn)是能夠很清晰地了解到閉環(huán)特征根的分布，一目了然地得出系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)參數(shù)的取值范圍，并且不必求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，適用于較復(fù)雜系統(tǒng)。根軌跡法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)就是能夠正確地繪制出系統(tǒng)的根軌跡，簡單根軌跡可用試探法繪制，復(fù)雜根軌跡則應(yīng)利用其繪制基本規(guī)則進(jìn)行繪制。2.2.3頻域分析法頻域分析法是應(yīng)用頻率特性研究系統(tǒng)的一種經(jīng)典方法，以系統(tǒng)的頻率特性為數(shù)學(xué)模型，用bode圖或其他圖表作為分析工具。當(dāng)系

7、統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式不易求出，就無法應(yīng)用代數(shù)判據(jù)或根軌跡法判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，此時(shí)應(yīng)用頻率穩(wěn)定判據(jù)就非常方便。其前提條件就是要正確地把系統(tǒng)的頻率特性繪制成曲線，常用的頻率特性曲線大致有三種：幅相曲線（極坐標(biāo)圖）；bode圖，也稱為對數(shù)頻率特性曲線；對數(shù)幅相曲線（尼科爾斯圖）。曲線的繪制可根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的表達(dá)式通過取值描點(diǎn)法、疊加法繪制根軌跡草圖，或利用MATLAB等計(jì)算機(jī)輔助工具來實(shí)現(xiàn)。3、MATLAB實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析3.1時(shí)域分析法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)模型為WK(S)=，單位負(fù)反饋。利用

8、MATLAB工具箱提供的時(shí)域響應(yīng)函數(shù)，給該系統(tǒng)施加單位沖激，觀察它的響應(yīng)，分析穩(wěn)定性。程序如下：程序中num為開環(huán)傳遞函數(shù)分子系數(shù)矩陣，den為分母系數(shù)矩陣。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在遭受外界擾動(dòng)偏離原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)自身仍有能力恢復(fù)到原來平衡狀態(tài)的一種能力。從圖1可以很直觀地看出該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。9圖1單位沖激響應(yīng)圖3.2直接判定法根據(jù)穩(wěn)定的充分必要條件判別線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最簡單的方法是求出系統(tǒng)所有極點(diǎn)，并觀察是否含有實(shí)部大于