數(shù)形結(jié)合思想論文：淺談數(shù)形結(jié)合思想在實際問題中的應用

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1、數(shù)形結(jié)合思想論文：淺談數(shù)形結(jié)合思想在實際問題中的應用中圖分類號：g633.6文獻標識碼：a文章編號：1671-0568（2011）24-0124-02大家都知道，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的一種思想方法，準確說是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想方法。數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)。在初中數(shù)學中，數(shù)形結(jié)合的思想通過忠實的體現(xiàn)者——示意圖得以淋漓盡致的展現(xiàn)的。如在初一上學期“有理數(shù)”這一章，許多概念都是通過數(shù)形結(jié)合來解決的。比如，用溫度計、海拔高度引入有理數(shù)的概念，利用數(shù)軸講授絕

2、對值、相反數(shù)的概念，包括有理數(shù)的加法、有理數(shù)的乘法。又如，在初一平面幾何的入門課講授線段和角的概念時，長度、大小的度量及其計算，處處都有數(shù)形結(jié)合的影子。再如，一次函數(shù)和二次函數(shù)這兩章，更是將示意圖用到“極點”。數(shù)與形是一對矛盾，但它們又是統(tǒng)一的，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個方面。筆者借助初中課本，舉例說明數(shù)形結(jié)合思想在解決實際問題中的一些妙用。一、利用數(shù)形結(jié)合思想解決一次函數(shù)方案性問題中的調(diào)配問題例如，在八年級上冊一次函數(shù)這一章，有這樣一個問題：a城有肥料200噸，b城有肥料300噸，現(xiàn)要把這些肥料全部運往c、d兩鄉(xiāng)，從a城往c、d兩鄉(xiāng)運肥料的費用分別為每噸20元和25元

3、；從b城往c、d兩鄉(xiāng)運肥料的費用分別為每噸15元和24元，現(xiàn)c鄉(xiāng)需要肥料240噸，d鄉(xiāng)需要肥料260噸，怎樣調(diào)動總運費最少？這一道題，是典型的方案性問題，是歷年中考的一個熱門考點。許多考生尤其是基礎較差的考生，此題丟分非常厲害，究其原因是：此題涉及到的已知數(shù)據(jù)較多，容易張冠李戴，造成數(shù)據(jù)上的混亂。為了避免這一點，特借助示意圖進行了以下處理：設a城運往c鄉(xiāng)x噸，畫出如下示意圖：或者，設a城運往c鄉(xiāng)x噸，畫出以下示意圖:數(shù)形結(jié)合思想得以充分體現(xiàn)。以上兩種方法，正是由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，使學生對題目中數(shù)量關系一目了然，學生只要借助上面的示意圖中體現(xiàn)的數(shù)據(jù)，問題便迎刃而解了，而且對于

4、變量x，y（y表示需要的總費用）之間關系的表達也顯得非常簡單：y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(x+60)=4x+10040，一次函數(shù)也就輕易地得出，其中自變量x的取值范圍是一個難點，但由實際情況也較輕易得到：從而解出0≤x≤200，再次利用數(shù)形結(jié)合——解析式與函數(shù)圖像，得出：當x=0時，y有最小值10040。自然，整個方案就出來了，問題的解決既準確又快，學生的得分也是不言而喻的。二、利用數(shù)形結(jié)合思想解決二次函數(shù)方案性問題中的最值問題例如，有一道中考模擬題：某家家樂小超市銷售某種品牌的糖果，已知進價為每斤10元。市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若每斤以20元銷售，平均每天可

5、銷售10斤，價格每降低1元，平均每天多銷售4斤，但售價不能低于14元，設每箱降價x元（x為正整數(shù)）。（1）寫出平均每天銷售y（斤）與x（元）之間的函數(shù)關系式與自變量x的取值范圍。（2）如何定價才能使超市平均每天銷售這種糖果的利潤最大？最大利潤為多少？在（1）問中，我們并不難得出：y=4x+10（0＜x≤6）在（2）問中，設每斤降價x元，利潤為w元，我們也不難得出：w=－4x2+30x+100即w=－4(x-3.75)2+156.25，那么由二次函數(shù)的性質(zhì)，得出：當x=3.75時，w有最大值156.25，所以，當每斤降價3.75元即售價為16.25元時，利潤最大為156.25元。結(jié)

6、論是否正確呢？顯然，這個答案中（2）是錯誤的。那么，錯在哪兒？很顯然，錯在我們的x不能小數(shù)，應該取正整數(shù)。那么，x到底取多少呢？怎樣處理此題？不妨試試下面的方法：在平面直角坐標系中，畫出w=-4x2+30x+100的圖像。從圖像中，一眼就可以看出，當x=4時，w有最大值156。從函數(shù)圖像上的最高點（最低點）或接近最高點（最低點），可以很快找到函數(shù)的最值，這便是圖像帶給我們的好處。三、利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)與方程（方程組）、函數(shù)與不等式的關系問題例如，利用函數(shù)y=2x-12的圖像：就能知道方程2x-12=0的解為x=6，不等式2x-12＞0的解集為x＞6，不等式2x-12＜0的解

7、集為x＜6。四、利用數(shù)形結(jié)合思想解決比賽問題在七年級下冊學過“利用不等式關系分析比賽”這一節(jié)的學生們都知道，這一節(jié)要想學好，真的是非常不容易。而且作為傳授知識的老師，也非常清楚，要想將這一節(jié)涉及到的知識能讓學生能輕松、愉快的接受，也是非常難的。如何讓學生學好、學透這一節(jié)，一直困擾著我們的老師。直到有一天，筆者終于找到一種非常有用的方法——數(shù)形結(jié)合，下面舉一例說明：有a、b、c、d、e五個隊分在同一小組進行單循環(huán)足球比賽，爭奪出線權(quán)，比賽規(guī)則規(guī)定：勝一場得三分，平一場得三分，負一場