國考行測同余問題中的剩余定理問題

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1、國考行測同余問題中的剩余定理問題余數(shù)問題中的一個(gè)重要問題就是同余問題，在同余問題解決過程中，推薦代入法和口訣法兩大類。其中口訣法是公倍數(shù)做周期，余同取余，和同加和，差同減差的應(yīng)用，但是有時(shí)候會出現(xiàn)余不同，和不同并且差也不同的現(xiàn)象，這就需要我們采用剩余定理進(jìn)行解決。河北華圖地址：石家莊市自強(qiáng)路35號莊家金融大廈707咨詢電話：0311-83720535、89687770、13363813228全省11個(gè)地級市均有分部，具體請咨詢電話剩余定理的原理是在“孫子問題”現(xiàn)代數(shù)論中的一個(gè)一次同余問題，它最早出現(xiàn)在我國公元四世紀(jì)的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中?！秾O子算經(jīng)》卷下“物不知數(shù)”題說：有物

2、不知其數(shù)，三個(gè)一數(shù)余二，五個(gè)一數(shù)余三，七個(gè)一數(shù)又余二，問該物總數(shù)幾何？顯然，這相當(dāng)于求不定方程組N=3x+2，N=5y+3，N=7x+2的正整數(shù)解N，或用現(xiàn)代數(shù)論符號表示，等價(jià)于解下列的一次同余組：N2(mod3)3(mod5)2(mod7)②《孫子算經(jīng)》所給答案是N＝23。由于孫子問題數(shù)據(jù)比較簡單，這個(gè)答數(shù)通過試算也可以得到。但是《孫子算經(jīng)》并不是這樣做的。“物不知數(shù)”題的術(shù)文指出解題的方法：三三數(shù)之，取數(shù)七十，與余數(shù)二相乘；五五數(shù)之，取數(shù)二十一，與余數(shù)三相乘；七七數(shù)之，取數(shù)十五，與余數(shù)二相乘。將諸乘積相加，然后減去一百零五的倍數(shù)。列成算式就是：N＝70×3＋21×3＋15×

3、2－2×105。這里105是模數(shù)3、5、7的最小公倍數(shù)，容易看出，《孫子算經(jīng)》給出的是符合條件的最小正整數(shù)。對于一般余數(shù)的情形，《孫子算經(jīng)》術(shù)文指出，只要把上述算法中的余數(shù)2、3、2分別換成新的余數(shù)就行了。以R1、R2、R3表示這些余數(shù)，那么《孫子算經(jīng)》相當(dāng)于給出公式N＝70×R1＋21×R2＋15×R3－P×105（p是整數(shù)）。孫子算法的關(guān)鍵，在于70、21和15這三個(gè)數(shù)的確定。后來流傳的《孫子歌》中所說“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指這三個(gè)關(guān)鍵的數(shù)字?！秾O子算經(jīng)》沒有說明這三個(gè)數(shù)的來歷。實(shí)際上，它們具有如下特性：forthequalityofreviewsand

4、review.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans也就是說，這三個(gè)數(shù)可以從最小公倍數(shù)M＝3×5×7＝105中各約去模數(shù)3、5、7后，再分別乘以整數(shù)2、1、1而得到。假令k1＝2，K2＝1，K3＝1，那么整數(shù)Ki（i＝1

5、，2，3）的選取使所得到的三數(shù)70、21、15被相應(yīng)模數(shù)相除的時(shí)候余數(shù)都是1。由此出發(fā)，立即可以推出，在余數(shù)是R1、R2、R3的情況下，綜合以上三式又可得到因?yàn)镸＝3×5×7可被它的任一因子整除，于是又有：這里P是整數(shù)。這就證明了《孫子算經(jīng)》的公式。應(yīng)用上述推理，可以完全類似地把孫子算法推廣到一般情形：設(shè)有一數(shù)N，分別被兩兩互素的幾個(gè)數(shù)a1、a2、……an相除得余數(shù)R1、R2、……Rn，即N≡Ri（modai）（i＝1、2、……n），只需求出一組數(shù)Ki，使?jié)M足那么適合已給一次同余組的最小正數(shù)解是forthequalityofreviewsandreview.Article26t

6、hreview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans（P是整數(shù)，M＝a1×a2×……×an），這就是現(xiàn)代數(shù)論中著名的剩余定理。如上所說，它的基本形式已經(jīng)包含在《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”題的解法之中。不過《孫子算經(jīng)》沒有明確地表述這個(gè)一般的定理。剩余定理的原

7、理比較繁瑣，不如直接套用解題方法進(jìn)行快速解題更能解決行測中的類似問題。下面給出一些例題，對剩余定理的解題方法加以熟練:【例1】一個(gè)數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個(gè)數(shù)最小是多少？【華圖公務(wù)員考試研究中心解析】題中3、4、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。則〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。為了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。然后，分別乘以他們的余數(shù)：40×1＋45×2＋36×4=27