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《國考行測同余問題中的剩余定理問題》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、國考行測同余問題中的剩余定理問題余數(shù)問題中的一個重要問題就是同余問題，在同余問題解決過程中，推薦代入法和口訣法兩大類。其中口訣法是公倍數(shù)做周期，余同取余，和同加和，差同減差的應(yīng)用，但是有時候會出現(xiàn)余不同，和不同并且差也不同的現(xiàn)象，這就需要我們采用剩余定理進行解決。河北華圖地址：石家莊市自強路35號莊家金融大廈707咨詢電話：0311-83720535、89687770、13363813228全省11個地級市均有分部，具體請咨詢電話剩余定理的原理是在“孫子問題”現(xiàn)代數(shù)論中的一個一次同余問題，它最早出現(xiàn)在我國公元四世紀的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中。《孫子算經(jīng)》卷下“物不知數(shù)”題說：有物不知其
2、數(shù)，三個一數(shù)余二，五個一數(shù)余三，七個一數(shù)又余二，問該物總數(shù)幾何？顯然，這相當于求不定方程組N=3x+2，N=5y+3，N=7x+2的正整數(shù)解N，或用現(xiàn)代數(shù)論符號表示，等價于解下列的一次同余組：N2(mod3)3(mod5)2(mod7)②《孫子算經(jīng)》所給答案是N＝23。由于孫子問題數(shù)據(jù)比較簡單，這個答數(shù)通過試算也可以得到。但是《孫子算經(jīng)》并不是這樣做的?！拔锊恢獢?shù)”題的術(shù)文指出解題的方法：三三數(shù)之，取數(shù)七十，與余數(shù)二相乘；五五數(shù)之，取數(shù)二十一，與余數(shù)三相乘；七七數(shù)之，取數(shù)十五，與余數(shù)二相乘。將諸乘積相加，然后減去一百零五的倍數(shù)。列成算式就是：N＝70×3＋21×3＋15×2－2×10
3、5。這里105是模數(shù)3、5、7的最小公倍數(shù)，容易看出，《孫子算經(jīng)》給出的是符合條件的最小正整數(shù)。對于一般余數(shù)的情形，《孫子算經(jīng)》術(shù)文指出，只要把上述算法中的余數(shù)2、3、2分別換成新的余數(shù)就行了。以R1、R2、R3表示這些余數(shù)，那么《孫子算經(jīng)》相當于給出公式N＝70×R1＋21×R2＋15×R3－P×105（p是整數(shù)）。孫子算法的關(guān)鍵，在于70、21和15這三個數(shù)的確定。后來流傳的《孫子歌》中所說“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指這三個關(guān)鍵的數(shù)字?！秾O子算經(jīng)》沒有說明這三個數(shù)的來歷。實際上，它們具有如下特性：也就是說，這三個數(shù)可以從最小公倍數(shù)M＝3×5×7＝105中各約去模數(shù)
4、3、5、7后，再分別乘以整數(shù)2、1、1而得到。假令k1＝2，K2＝1，K3＝1，那么整數(shù)Ki（i＝1，2，3）的選取使所得到的三數(shù)70、21、15被相應(yīng)模數(shù)相除的時候余數(shù)都是1。由此出發(fā)，立即可以推出，在余數(shù)是R1、R2、R3的情況下，綜合以上三式又可得到因為M＝3×5×7可被它的任一因子整除，于是又有：這里P是整數(shù)。這就證明了《孫子算經(jīng)》的公式。應(yīng)用上述推理，可以完全類似地把孫子算法推廣到一般情形：設(shè)有一數(shù)N，分別被兩兩互素的幾個數(shù)a1、a2、……an相除得余數(shù)R1、R2、……Rn，即N≡Ri（modai）（i＝1、2、……n），只需求出一組數(shù)Ki，使?jié)M足那么適合已給一次同余組的最
5、小正數(shù)解是（P是整數(shù)，M＝a1×a2×……×an），這就是現(xiàn)代數(shù)論中著名的剩余定理。如上所說，它的基本形式已經(jīng)包含在《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”題的解法之中。不過《孫子算經(jīng)》沒有明確地表述這個一般的定理。剩余定理的原理比較繁瑣，不如直接套用解題方法進行快速解題更能解決行測中的類似問題。下面給出一些例題，對剩余定理的解題方法加以熟練:【例1】一個數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個數(shù)最小是多少？【華圖公務(wù)員考試研究中心解析】題中3、4、5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。則〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。為了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余
6、1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。然后，分別乘以他們的余數(shù)：40×1＋45×2＋36×4=274，因為，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的數(shù)?！纠?】一個數(shù)被3除余2，被7除余4，被8除余5，這個數(shù)最小是多少？在1000內(nèi)符合這樣條件的數(shù)有幾個？【華圖公務(wù)員考試研究中心解析】題中3、7、8三個數(shù)兩兩互質(zhì)。則〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。為了使56被3除余1，用56×2=112；使24被7除余1，用24×5=120；使21被8除余1，用21×5=105；然后，112×2＋120×4＋105×5=
7、1229。因為，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的數(shù)。再用(1000-53)/168得5,所以在1000內(nèi)符合條件的數(shù)有5個?！纠?】一個數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小的自然數(shù)?！救A圖公務(wù)員考試研究中心解析】題中5、8、11三個數(shù)兩兩互質(zhì)。則〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。為了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1，用55×7=385；
