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1、柯西中值定理的證明及應用湖南科技大學本科生畢業(yè)設計（論文）湖南科技大學本科生畢業(yè)設計（論文）摘要本論文首先討論了柯西中值定理的四種證明方法；其次對柯西中值定理的應用進行初步探索，列舉了其在求極限、不等式與等式的證明等方面的應用.關鍵詞：柯西中值定理；羅爾定理；達布定理；閉區(qū)間套定理-i-湖南科技大學本科生畢業(yè)設計（論文）-ii-湖南科技大學本科生畢業(yè)設計（論文）ABSTRACTThisthesisdiscussedthefirstcauchyvalueofthelawofthefourtypesofprooftothesecondmethod；cauchyvalueofthelawo
2、ftheinitialapplicationtoexploreandtoitslimit,inequalitiesandtheequalitythattheapplication.Keywords:Cauchymeanvaluetheorem；Rolletheorem；Daabtheorem；Closeofthetheorem.-iii-湖南科技大學本科生畢業(yè)設計（論文）-iv-湖南科技大學本科生畢業(yè)設計（論文）目錄第一章前言………………………………………………………1第二章柯西中值定理的證明……………………………………22.1利用羅爾定理證明柯西中值定理……………………………………
3、22.2利用閉區(qū)間套定理證明柯西中值定理………………………………32.3利用反證法證明柯西中值定理………………………………………62.4利用達布定理證明柯西中值定理……………………………………7第三章柯西中值定理的應用……………………………………103.1柯西中值定理在求極限中的應用……………………………………103.2柯西中值定理在證明題中的應用……………………………………113.2.1柯西中值定理在證明不等式中的應用…………………………113.2.2柯西中值定理在證明等式中的應用……………………………123.2.3柯西中值定理在證明連續(xù)性中的應用…………………………14第四章總結
4、………………………………………………………16參考文獻…………………………………………………………17致謝…………………………………………………………………18-v-湖南科技大學本科生畢業(yè)設計（論文）-vi-湖南科技大學本科生畢業(yè)設計（論文）第一章前言微分中值定理是微分學中的一個重要定理，它包括羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Larange）中值定理和柯西（Cauchy）中值定理.而柯西中值定理較前兩者更具有一般性，其敘述如下：柯西中值定理[1]若f?x?與g?x?在?a,b?上可導，且g?x??0，則在?a,b?內至少存在一點?，使f?b??f?a?g?b??g?a??f????
5、g?????1?其證明方法的探討與研究是一個引人注目的問題.本文主要講解了證明柯西中值定理的四種方法及其應用，這些方法的探討有利于更好的掌握微分學知識，熟練的運用相關的知識解決實際問題.--1--湖南科技大學本科生畢業(yè)設計（論文）--2--湖南科技大學本科生畢業(yè)設計（論文）第二章柯西中值定理的證明本章主要講解了柯西中值定理的四種證明方法：利用構造輔助函數(shù)，根據(jù)羅爾定理證明；利用閉區(qū)間套定理證明；借助引理，并應用反證法證明；用達布定理和反證法證明.2.1利用羅爾定理證明柯西中值定理羅爾定理[2]設函數(shù)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?上可導，而且在兩端點處函數(shù)f?x?的值相等
6、?f?a??f?b??，那么在開區(qū)間?a,b?上至少有一點c，使得f?x?在這點的導數(shù)等于零?f??c??0?.證明設M和m分別是f?x?在區(qū)間?a,b?上的最大值和最小值.由于f?x?在?a,b?上是連續(xù)的，所以f?x?的最大值和最小值是存在的.如果等式M?m?f?a?成立，那么對于一切x??a,b?都有f??x??0.如果M?f?a?和m?f?a?不能同時成立，那么M和m這兩個數(shù)中間至少有一個不等于數(shù)f?a?，為了確切起見，設M是這樣的數(shù).于是，在開區(qū)間?a,b?的某點c，函數(shù)f?x?達到閉區(qū)間?a,b?上的最大值，因而在這點f?x?同時有局部極大值。因為在點c的導數(shù)f??c?存
7、在，所以根據(jù)費爾馬定理，它等于零.m?f?a?的情況可以類似的討論.下面證明柯西中值定理證明引入函數(shù)F?x????g?b??g?a???f?x????f?b??f?a???g?x?這個函數(shù)在?a,b?上顯然是連續(xù)的，而且在開區(qū)間?a,b?上有導數(shù).此外，F(xiàn)?a??F?b?.因此根據(jù)羅爾定理可以找到這樣的點c??a,b?，使得，F(xiàn)??c??0，即??g?b??g?a???f??c????f?b??f?a???g??c??2?數(shù)f??c??0，否則的話，由于f
