柯西中值定理地證明及應(yīng)用

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1、柯西中值定理的證明及應(yīng)用馬玉蓮（西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，甘肅，蘭州，730070）摘要：本文多角度介紹了柯西中值定理的證明方法和應(yīng)用,其中證明方法有:構(gòu)造輔助函數(shù)利用羅爾定理證明，利用反函數(shù)及拉格朗日中值定理證明,利用閉區(qū)間套定理證明,利用達(dá)布定理證明,利用坐標(biāo)變換證明.其應(yīng)用方面有：求極限、證明不等式、證明等式、證明單調(diào)性、證明函數(shù)有界、證明一致連續(xù)性、研究定點(diǎn)問題、作為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、推導(dǎo)中值公式.關(guān)鍵詞：柯西中值定理;證明;應(yīng)用第16頁共16頁1.引言微分中值定理是微分學(xué)中的重要定理，它包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理較前兩者更

2、具有一般性、代表性，其敘述如下：柯西中值定理：設(shè)函數(shù)f(x),g(x)滿足(1)在上都連續(xù);(2)在內(nèi)都可導(dǎo);(3)和不同時(shí)為零;(4),則存在，使得.（1）本文從不同思路出發(fā)，展現(xiàn)了該定理的多種證明方法及若干應(yīng)用，以便其更好的被認(rèn)識(shí)、運(yùn)用.2.柯西中值定理的證明2.1構(gòu)造輔助函數(shù)利用羅爾定理證明柯西中值定理羅爾定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，且則至少存在一點(diǎn),,使得.證明構(gòu)造輔助函數(shù)，易見在上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在，使得,（2）因?yàn)椋ㄈ魹?則同時(shí)為0,不符條件）故可將（2）式改寫為(1)式.便得所證.第16頁共16頁2.2利用反函數(shù)及拉格朗日中值定理證明

3、柯西中值定理討論顯然，當(dāng)時(shí)，式即為拉格朗日公式，所以拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情況.但若換一個(gè)角度，將和看成平面上某條曲線的參數(shù)方程，即可以表示為：易知在（或）上連續(xù),在（或）上可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理的幾何意義，存在曲線上一點(diǎn)過該點(diǎn)的斜率等于曲線兩端連線的斜率（如圖1所示）.設(shè)對應(yīng)于圖1，則由參數(shù)形式函數(shù)的求導(dǎo)公式，有.所以，柯西中值定理也可以看成是拉格朗日中值定理的參數(shù)表達(dá)形式.證明由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，以及在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)恒不為零，且不難證明，在上嚴(yán)格單調(diào)，不妨設(shè)嚴(yán)格單調(diào)增加.下證嚴(yán)格單調(diào)，只證在上嚴(yán)格單調(diào)遞增.取，規(guī)定由的連續(xù)性知那么,

4、對上式求極限,第16頁共16頁又,得到，由的任意性知故在上嚴(yán)格單調(diào)遞增.同理可得在上嚴(yán)格單調(diào)遞減,故單調(diào)性得證.記，，由反函數(shù)存在定理和反函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在定理，在上存在的反函數(shù)，在上連續(xù)，在可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)，并且在上也是嚴(yán)格單調(diào)增加的.考慮上的復(fù)合函數(shù)，由定理?xiàng)l件和以上討論，即知在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，于是，存在，使得.由和的關(guān)系，在中一定存在一點(diǎn)，滿足，于是代入上式就得到了定理結(jié)論.2.3利用閉區(qū)間套定理證明柯西中值定理定義如果一列閉區(qū)間滿足條件（1）;（2）,則稱這列區(qū)間形成一個(gè)閉區(qū)間套.閉區(qū)間套定理如果形成一個(gè)區(qū)間套，則存在惟一的實(shí)數(shù)屬于所有的閉區(qū)間，且.第16頁

5、共16頁引理1設(shè)函數(shù)在上有定義，且在處可導(dǎo)，又為一閉區(qū)間套，且，則.引理2設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則存在且，使得.現(xiàn)在把引理2推廣為：引理3設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，且是單射，則存在，且，使.下面證明柯西中值定理：證明首先證明，當(dāng)且時(shí)，有.反設(shè)，由引理2，存在，且，使,從而.在上再次應(yīng)用引理2有，存在，且，使，從而又有.反復(fù)利用引理2，最終可得一個(gè)閉區(qū)間套，滿足，且，由閉區(qū)間套定理，存在，使,第16頁共16頁根據(jù)引理1得：,這與條件相矛盾.再根據(jù)引理3，存在，且，使,反復(fù)利用引理3，類似與前面的證明，可得閉區(qū)間套，滿足且.由閉區(qū)間套定理存在，使。再由引理1有:.即柯西中值定理成立.2

6、.4利用達(dá)布定理證明柯西中值定理達(dá)布定理在上連續(xù)且可導(dǎo)，（1）若，，則有，使得.（2）設(shè)，，則對介于與間的數(shù)有點(diǎn)介于與之間，且.根據(jù)拉格朗日中值定理，我們易知有下列命題成立：命題設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，對，有，則在上嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）.下面證明柯西中值定理：證明構(gòu)造輔助函數(shù)第16頁共16頁,顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.現(xiàn)要證明存在，使.假設(shè)對一切，則由達(dá)布定理易知，要么，要么，當(dāng)時(shí)則由命題易知在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，從而在上嚴(yán)格單調(diào)增（因在上連續(xù)）.從而與定理中的條件矛盾，當(dāng)時(shí)同樣可推出矛盾故有，即成立.2.5利用坐標(biāo)變換證明柯西中值定理微分中值定理證明的難點(diǎn)在于構(gòu)造輔助函數(shù)，而下列

7、證明不通過構(gòu)造輔助函數(shù)，利用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換來證明柯西中值定理.證明構(gòu)造參數(shù)方程，,（3）LyMAB由定理?xiàng)l件知，方程（3）的圖像是平面上一條連續(xù)且光滑的曲線，曲線的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，.圖2.坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換圖第16頁共16頁由圖2所示，AB與軸正向夾角為，，旋轉(zhuǎn)軸使平行于，曲線在軸上的投影區(qū)間為，則曲線上任意一點(diǎn)M在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為,而，，所以曲線L在新坐標(biāo)系下是參數(shù)方程：（4）顯然，對于任意，，均存在.設(shè)，則方程（4）在上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在，使得且有，即存在，使得,所以有,即存在使得定理成立.第16頁共16頁3.柯西中值定理的應(yīng)用3.1求極限求.解