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1、懸臂梁非線性大變形分析 摘要:工程中彈性大變形問題的余能中包含著與微元旋轉(zhuǎn)有關(guān)的量,因此可將工程中的彈性大變形的余能分解為余能轉(zhuǎn)動部分和變形部分組成,基于這一思路,本文以幾何非線性余能原理概念為基礎(chǔ),通過算例分析驗證了該原理可用于解決幾何非線性大變形問題。關(guān)鍵詞:余能原理;非線性;大變形 1概述 從基面力概念的概念出發(fā),以Lagrange乘子法松弛單元域內(nèi)的平衡條件,就可以得到諸如:材料的本構(gòu)關(guān)系、結(jié)構(gòu)的邊界條件與平衡方程等彈性力學問題的基本方程表達式,同時還可以據(jù)此建立余能原理。同樣,在研究結(jié)構(gòu)的受力性能時,特別是在工程結(jié)構(gòu)大變形的分析中,基面力具有傳統(tǒng)的二階應(yīng)力張量
2、無法比擬的優(yōu)越性,為解決工程中的幾何非線性大變形問題的計算分析提供了一個極佳的方法。因此,本文以幾何非線性余能原理為基礎(chǔ),采用迭代法,對某一懸臂梁自由端頂部承受集中荷載作用而產(chǎn)生大變形的工程數(shù)值算例進行分析,分析所得結(jié)果并與相關(guān)有限元理論數(shù)值解進行對比,進而驗證了該原理適用性?! ?數(shù)學模型建立 工程中彈性大變形問題的余能中包含著與微元旋轉(zhuǎn)有關(guān)的量,因此可將工程中的彈性大變形的余能主要分解為余能轉(zhuǎn)動部分和余能變形部分?;谶@一思路,文中以幾何非線性余能原理概念為基礎(chǔ),給出了幾何非線性中的大位移、大轉(zhuǎn)動的余能表達式的具體形式,并結(jié)合單元柔度矩陣,利用Lagrange乘子法最后給出
3、余能有限元控制方程?! ∮缮鲜隹芍獑卧嗄苡赊D(zhuǎn)動部分和變形部分兩部分組成?! 卧嗄艿霓D(zhuǎn)動部分表達式為: 單元余能的變形部分表達式為: 柔度矩陣 單元柔度矩陣的顯式表達式為 式中,U為單位張量,E材料的彈性模量,ν為材料的泊松比?! ≈浞匠獭 ±肔agrange乘子法,放松平衡條件約束,則修正的泛函可寫成 3工程算例分析 懸臂梁自由端承受集中力作用的幾何非線性大位移分析,某一懸臂梁的自由端部受集中力p作用,該懸臂梁的長度為L=5m,梁截面高為h=,b為梁的單位寬度,集中力為p=50N。計算時,按平面應(yīng)力問題考慮,梁的彈性模量為E=3×106N/m2,在本算例
4、中集中力荷載采用進行一次加載分析。 計算時,有限元單元采用四邊形單元,有限元網(wǎng)格的剖分見圖1所示,在本分析中該懸臂梁共有389個邊中節(jié)點和180個四邊形單元。下面將計算所得懸臂梁自由端的無量綱水平位移u/L值和無量綱豎向位移值v/L與無量綱荷載k=PL2/EI值的關(guān)系,以及與非線性理論解和非線性勢能原理有限元解,文中簡稱為PFEM的比較關(guān)系列于表1,而相應(yīng)于無量綱荷載k=PL2/EI值與u/L及v/L值的對應(yīng)關(guān)系圖如圖2和圖3所示。 由表1可知,當k=時,u/L值的三個解都是;當k=1時,u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為;當k=2時,u/L值中的本文解與PF
5、EM解和理論解均值的差值為-;當k=3時,u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為;當k=4時,u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為;當k=5時,u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為,由此可知在本算例分析中,u/L值中本文解與PFEM解和理論解的對應(yīng)較好,最大差值僅為。 同理,由表1可知,當k=時,v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為;當k=1時,v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為;當k=2時,v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為;當k=3時,v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為;當
6、k=4時,v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為;當k=5時,v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為,對應(yīng)于u/L值中本文解與PFEM解和理論解的對應(yīng)情況可知v/L值中本文解與PFEM解和理論解的對應(yīng)差值在k=5時有較大的區(qū)別,其最大值為,主要原因是本算例分析中梁自由端的大變形以豎向變形為主,相對數(shù)值較大,可考慮增加該方向結(jié)構(gòu)的有限元單元劃分數(shù)量,細化計算結(jié)果。 結(jié)語 由本工程算例分析可知,對于工程中幾何非線性大變形問題可應(yīng)用本文中給出幾何非線性余能原理有限元公式進行求解且與PFEM解和理論解吻合較好,對于解決工程實際問題具有一定的理論和實際應(yīng)用意義。
7、 對以某一方向變形為主的幾何非線性大變形問題,可適當考慮增加該方向的有限單元網(wǎng)格的劃分數(shù)量,以提高該方向的變形位移值計算精度?! ⒖嘉墨I [1]高玉臣.彈性大變形的余能原理[J].中國科學,XX,36:298~311. [2]彭一江,雷文賢,彭紅濤.基于基線力概念的平面4節(jié)點余能有限元模型[J].北京工業(yè)大學學報,XX:21~22. [3]高玉臣.固體力學基礎(chǔ)[M].北京:中國鐵道出版社,1999. [4]GAOYC.Analysisoftheinterfacecra