懸臂梁非線性大變形分析

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1、懸臂梁非線性大變形分析摘要:工程中彈性大變形問(wèn)題的余能中包含著與微元旋轉(zhuǎn)有關(guān)的量,因此可將工程中的彈性大變形的余能分解為余能轉(zhuǎn)動(dòng)部分和變形部分組成,基于這一思路,本文以幾何非線性余能原理概念為基礎(chǔ),通過(guò)算例分析驗(yàn)證了該原理可用于解決幾何非線性大變形問(wèn)題?! £P(guān)鍵詞:余能原理;非線性;大變形 ?。篢H13:A  1概述  從基面力概念的概念出發(fā),以Lagrange乘子法松弛單元域內(nèi)的平衡條件,就可以得到諸如:材料的本構(gòu)關(guān)系、結(jié)構(gòu)的邊界條件與平衡方程等彈性力學(xué)問(wèn)題的基本方程表達(dá)式,同時(shí)還可以據(jù)此建立余能原理。同樣,在研究結(jié)構(gòu)的受力性能時(shí),

2、特別是在工程結(jié)構(gòu)大變形的分析中,基面力具有傳統(tǒng)的二階應(yīng)力張量無(wú)法比擬的優(yōu)越性,為解決工程中的幾何非線性大變形問(wèn)題的計(jì)算分析提供了一個(gè)極佳的方法。因此,本文以幾何非線性余能原理為基礎(chǔ),采用迭代法,對(duì)某一懸臂梁自由端頂部承受集中荷載作用而產(chǎn)生大變形的工程數(shù)值算例進(jìn)行分析,分析所得結(jié)果并與相關(guān)有限元理論數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比,進(jìn)而驗(yàn)證了該原理適用性?! ?數(shù)學(xué)模型建立  工程中彈性大變形問(wèn)題的余能中包含著與微元旋轉(zhuǎn)有關(guān)的量,因此可將工程中的彈性大變形的余能主要分解為余能轉(zhuǎn)動(dòng)部分和余能變形部分。基于這一思路,文中以幾何非線性余能原理概念為基礎(chǔ),給出了

3、幾何非線性中的大位移、大轉(zhuǎn)動(dòng)的余能表達(dá)式的具體形式,并結(jié)合單元柔度矩陣,利用Lagrange乘子法最后給出余能有限元控制方程。  2.1由上述可知單元余能由轉(zhuǎn)動(dòng)部分和變形部分兩部分組成?! ?.1.1單元余能的轉(zhuǎn)動(dòng)部分表達(dá)式為:  2.1.2單元余能的變形部分表達(dá)式為:  2.2柔度矩陣  單元柔度矩陣的顯式表達(dá)式為  式(3)中,U為單位張量,E材料的彈性模量,ν為材料的泊松比?! ?.3支配方程  利用Lagrange乘子法,放松平衡條件約束,則修正的泛函可寫(xiě)成  3工程算例分析  懸臂梁自由端承受集中力作用的幾何非線性大位移分析

4、,某一懸臂梁的自由端部受集中力p作用(如圖1所示),該懸臂梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=5m,梁截面高為h=0.1m,b為梁的單位寬度,集中力為p=50N。計(jì)算時(shí),按平面應(yīng)力問(wèn)題考慮,梁的彈性模量為E=3×106N/m2,在本算例中集中力荷載采用進(jìn)行一次加載分析?! ∮?jì)算時(shí),有限元單元采用四邊形單元,有限元X格的剖分見(jiàn)圖1所示,在本分析中該懸臂梁共有389個(gè)邊中節(jié)點(diǎn)和180個(gè)四邊形單元。下面將計(jì)算所得懸臂梁自由端的無(wú)量綱水平位移u/L值和無(wú)量綱豎向位移值v/L與無(wú)量綱荷載k=PL2/EI值的關(guān)系,以及與非線性理論解和非線性勢(shì)能原理有限元解,文中簡(jiǎn)稱為

5、PFEM的比較關(guān)系列于表1,而相應(yīng)于無(wú)量綱荷載k=PL2/EI值與u/L及v/L值的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖如圖2和圖3所示?! ∮杀?可知,當(dāng)k=0.5時(shí),u/L值的三個(gè)解都是0.016;當(dāng)k=1時(shí),u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.002;當(dāng)k=2時(shí),u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為-0.0045;當(dāng)k=3時(shí),u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.009;當(dāng)k=4時(shí),u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.002;當(dāng)k=5時(shí),u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0

6、.003,由此可知在本算例分析中,u/L值中本文解與PFEM解和理論解的對(duì)應(yīng)較好,最大差值僅為0.009?! ⊥?,由表1可知,當(dāng)k=0.5時(shí),v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.002;當(dāng)k=1時(shí),v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.003;當(dāng)k=2時(shí),v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.010;當(dāng)k=3時(shí),v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.009;當(dāng)k=4時(shí),v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.002;當(dāng)k=5時(shí),v/L值中的本文解與PFE

7、M解和理論解均值的差值為0.021,對(duì)應(yīng)于u/L值中本文解與PFEM解和理論解的對(duì)應(yīng)情況可知v/L值中本文解與PFEM解和理論解的對(duì)應(yīng)差值在k=5時(shí)有較大的區(qū)別,其最大值為0.021,主要原因是本算例分析中梁自由端的大變形以豎向變形為主,相對(duì)數(shù)值較大,可考慮增加該方向結(jié)構(gòu)的有限元單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)量,細(xì)化計(jì)算結(jié)果?! 〗Y(jié)語(yǔ) ?。?)由本工程算例分析可知,對(duì)于工程中幾何非線性大變形問(wèn)題可應(yīng)用本文中給出幾何非線性余能原理有限元公式進(jìn)行求解且與PFEM解和理論解吻合較好摘要:工程中彈性大變形問(wèn)題的余能中包含著與微元旋轉(zhuǎn)有關(guān)的量,因此可將工程中的彈性

8、大變形的余能分解為余能轉(zhuǎn)動(dòng)部分和變形部分組成,基于這一思路,本文以幾何非線性余能原理概念為基礎(chǔ),通過(guò)算例分析驗(yàn)證了該原理可用于解決幾何非線性大變形問(wèn)題?! £P(guān)鍵詞:余能原理;非線性;大變形 ?。篢H13:A  1概述  

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