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1、圖像處理中不適定問題作者:肖亮博士發(fā)布時間:09-10-25閱讀:600所屬分類:默認欄目圖像處理中不適定問題(illposedproblem)或稱為反問題(inverseProblem)的研究從20世紀末成為國際上的熱點問題,成為現(xiàn)代數(shù)學家、計算機視覺和圖像處理學者廣為關(guān)注的研究領(lǐng)域。數(shù)學和物理上的反問題的研究由來已久,法國數(shù)學家阿達馬早在19世紀就提出了不適定問題的概念:稱一個數(shù)學物理定解問題的解存在、唯一并且穩(wěn)定的則稱該問題是適定的(WellPosed).如果不滿足適定性概念中的上述判據(jù)中的一條或幾條,稱該問題是不適定的。典型的圖像處理不適定問題包括:圖像去噪(Ima
2、geDe-nosing),圖像恢復(ImageRestorsion),圖像放大(ImageZooming),圖像修補(ImageInpainting),圖像去馬賽克(imageDemosaicing),圖像超分辨(Imagesuper-resolution)等。迄今為止,人們已經(jīng)提出許多方法來解決圖像處理中的不適定性。但是如何進一步刻畫圖像的邊緣、紋理和角形等圖像中重要視覺幾何結(jié)構(gòu),提高該類方法在噪聲抑制基礎(chǔ)上有效保持結(jié)構(gòu)和紋理能力是有待深入研究的問題。1不適定圖像處理問題的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評述由于圖像處理中的反問題往往是不適定的。解決不適定性的有效途徑是在圖像處理中引入關(guān)于
3、圖像的先驗信息。因此圖像的先驗模型對于圖像反問題和其它計算機視覺還是圖像處理問題至關(guān)重要。對于圖像的先驗模型的研究,研究者們從多個角度進行研究,其代表主要有“統(tǒng)計方法”和“正則化幾何建模方法”,“稀疏表示方法”三種主流方法,而最近興起的圖像形態(tài)分量分析(MCA)方法吸引了大批國內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注。1.1正則化幾何模型日新月異關(guān)于自然圖像建模的“正則化幾何方法”是最近幾年熱點討論的主題。其中一類方法是利用偏微分方程理論建立圖像處理模型,目前的發(fā)展趨勢是從有選擇性非線性擴散的角度設(shè)計各類低階、高階或者低階與高階綜合的偏微分方程,或者從實擴散向復擴散推廣,從空域向空頻域相結(jié)合以
4、及不同奇異性結(jié)構(gòu)的綜合處理[1]。另一類方法是基于能量泛函最優(yōu)的變分方法。1992年,Rudin-Osher-Fatemi提出圖像能被分解為一個屬于有界變差空間的分量和一個屬于的分量的全變差模型[2]。根據(jù)國際上及本人的研究表明:ROF模型模型較好地刻畫了圖像中視覺重要邊緣結(jié)構(gòu),但不能描述紋理信息。2001年Meyer提出了振蕩模式分解理論[2]:他認為振蕩分量可以表示為某個向量函數(shù)的散度形式,而振蕩分量可以屬于3個可能的函數(shù)空間。首先引入有界變差(boundedvariational,BV)空間的一個近似對偶空間來表征圖像的振蕩分量;Meyer進一步指出John-Nire
5、nberg的有界均值振蕩空間和齊性Besov空間都是振蕩分量比較合適的函數(shù)空間,由此導出了將圖像分解的(BV,G)模型,(BV,F)模型和(BV,E)模型。Meyer從理論上基本解決了振蕩分量的理論框架,成為紋理等振蕩模式分解的奠基性工作,但是原始模型比較難計算。后來的學者大都在Meyer工作的基礎(chǔ)上展開工作。Vese-Osher提出將振蕩分量建模為的向量場的散度來逼近(BV,G)模型[3],實質(zhì)上是將G空間近似為負Soblev空間[4]。L.Lieu和L.Vese進一步推廣到分數(shù)階負Soblev空間[5]。Aujol,Chamboll等人定義了G-空間中的一個子空間,并根
6、據(jù)Chamboll早期提出的ROF模型的投影算法的基礎(chǔ)上,提出圖像的振蕩分量是在該子空間上的投影分量,由此提出了著名的BV空間半范+G空間范數(shù)+L2范數(shù)約束優(yōu)化的A2BC模型及子空間投影算法[6-7]。J.B.Garnet,T.M.Le,Y.Meyer,L.A.Vese提出更一般的齊性Besov空間來刻畫振蕩分量[8]。最近,J.Aujol,A.Chamboll分別對TV范數(shù)、G范數(shù)、F范數(shù)、E范數(shù),L2范數(shù)對圖像的卡通圖像、紋理分量、高斯噪聲進行數(shù)理統(tǒng)計和相關(guān)性分析,提出了分別運用TV范數(shù)、G范數(shù)和E范數(shù)分別來約束圖像的卡通分量、紋理分量和噪聲分量的三分量圖像分解模型[9
7、]。2007年,G.Gilboa和S.Osher受提出了非局部化G-空間的概念,并概括性的初步提出了非局部ROF模型、非局部Meyer模型、非局部ROF+L1模型[10],從理論上提供了圖像先驗模型研究的新思路。但綜合目前研究來看,變分方法的主要不足是對于紋理和噪聲的刻畫還不夠精細。1.2稀疏表示方興未艾圖像的稀疏表示問題最早源于“有效編碼假說”。Attneave最先提出:視覺感知的目標就是產(chǎn)生一個外部輸入信號的有效表示。在神經(jīng)生物學領(lǐng)域Barlow基于信息論提出了“有效編碼假設(shè)”,認為初級視皮層神經(jīng)細胞的主要功能