數(shù)值分析典型例題new

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1、數(shù)值分析典型例題例1對下列各數(shù)寫出具有5位有效數(shù)字的近似值。236.478,0.00234711,9.000024,9.000034.解：按照定義，以上各數(shù)具有5位有效數(shù)字的近似值分別為：236.478，0.0023471，9.0000，9.0000。注意:=9.000024的5位有效數(shù)字是9.0000而不是9，因為9是1位有效數(shù)字。例2指出下列各數(shù)具有幾位有效數(shù)字。2.0004，-0.00200，-9000，9，2。解：按照定義，以上各數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)分別為5，3，4，1，1例3已測得某物體行程的近似值s=800m，所需時間的近似值為t=35s，若已知，試求平均速度的絕對誤差和

2、相對誤差限。解：因為，所以從而同樣所以因此絕對誤差限和相對誤差限分別為0.05和0.00205。例4試建立積分的遞推關(guān)系，并研究它的誤差傳遞。解：……………………………………………..…...(1)，計算出后可通過（1）依次遞推計算出,…,。但是計算時有誤差，由此計算出的,…,也有誤差，由（1）可知近似值之間的遞推關(guān)系為……………………………………………….…..(2)（1）-（2）可得，由計算時誤差被放大了倍。所以（1）不穩(wěn)定。（1）可以改寫為………………………………………（3）如果能先求出，則依次可以求出,…,，計算時有誤差，這樣根據(jù)（3）計算,…,就有誤差，誤差傳播為，誤差

3、依次減少。例5用二分法求解方程在區(qū)間[0,1]內(nèi)的1個實根，要求有3為有效數(shù)字。解：因為，且當時，，所以方程在[0,1]內(nèi)僅有一個實根，由，解得１２，所以至少需要二分10次，才能得到滿足精度要求的根。第次有根區(qū)間為，該題的二分法的計算過程間下表，結(jié)果。00（+）0.5(-)1(-)10（+）0.25(+)0.5(-)20.25（+）0.375(+)0.5(-)30.375（+）0.4375(+)0.5(-)40.4375（+）0.46875(-)0.5(-)50.4375(+)0.453125(-)0.46875(-)60.4375(+)0.4453125(-)0.453125(

4、-)70.4375(+)0.44140625(+)0.4453125(-)80.44140625(+)0.443359375(+)0.4453125(-)90.443359375(+)0.444335937(+)0.4453125(-)100.444335937(+)0.444824218(+)0.4453125(-)例6在區(qū)間[2,4]上考慮如下2個迭代格式的斂散性（1）（2）解：（1），當時，；，由收斂定理可知對任意的，迭代格式收斂（2），當時，從而該迭代格式發(fā)散。例7用迭代法求方程在0.4附近的根，精確到4位有效數(shù)字。解：將方程改寫成等價的形式，于是有。，從而迭代格式是局部

5、收斂的，計算結(jié)果如下。，誤差不超過，從而近似解具有4位有效數(shù)字。例8用列主元Gauss消元法解線性方程組解：方程組的增廣矩陣為１２，通過回帶過程得解為。例9將方程組的系數(shù)矩陣作LU分解，并求方程組的解。解：增廣矩陣為，LU的緊湊格式為，所以系數(shù)矩陣的LU分解為，等價的三角形方程組為，解得。例10假設(shè)矩陣，求。解：的特征方程為，其特征根為例11討論用Jacobi迭代法求解線性方程組的收斂性，如果收斂，取初值，求。解：方程組的系數(shù)矩陣，迭代矩陣１２，特征方程即，通過計算得其特征值為，因此，從而迭代法是收斂的。迭代格式為，將初值帶入計算可得例12討論用Guass-Seidel迭代法求解

6、線性方程組的收斂性，如果收斂，取初值，求。解：方程組的系數(shù)矩陣，迭代矩陣的特征方程即，通過計算得特征值為，因此，從而迭代法是收斂的。迭代格式為，將初值帶入計算可得例13已知，用一次插值多項式、二次插值多項式近似sinx，并用此近似求出。解：取和作為節(jié)點作一次插值得取和作為節(jié)點作一次插值得。取、和為插值節(jié)點，作二次插值１２誤差分析：可以看出用和做線性插值的精度比用和做線性插值的精度高，因為在和之間。例14已知節(jié)點上的函數(shù)值及，求一個次數(shù)不超過3的多項式使得，且，并估計插值余項，其中互不相同。解：（1）求插值多項式，假設(shè)，其中，由于，得到（1）假設(shè)，由于，是R(x)的一重零點，是二重

7、零點，從而，顯然在插值區(qū)間內(nèi)，作輔助函數(shù)，顯然在插值區(qū)間內(nèi)有5個零點，分別是，，，，，反復(fù)使用Rolle定理可得，即，。例15假設(shè)互不相同，使用Lagrange插值方法可以求出滿足插值條件的插值多項式，使用Newton插值方法可以求出滿足插值條件的多項式，問是否成立？為什么？解：是成立的假設(shè)滿足插值條件的多項式為，則（1）１２由于互不相同，方程組（1）的系數(shù)行列式，從而方程組（1）只有唯一解，即滿足插值條件的多項式是唯一確定的，而和滿足相同的插值條件，所以例16假設(shè)是Lagran