數(shù)值與分析典型例題

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1、第一章典型例題例3ln2=0.69314718…，精確到10－3的近似值是多少？解精確到10－3＝0.001，即絕對(duì)誤差限是e＝0.0005,故至少要保留小數(shù)點(diǎn)后三位才可以。ln2?0.693第二章典型例題例1用順序消去法解線性方程組解順序消元于是有同解方程組回代得解x3=－1,x2=1,x1=1,原線性方程組的解為X＝(1,1,－1)T例2取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解線性方程組解建立迭代格式(k=1,2,3,…)第1次迭代,k=0X(0)＝0，得到X(1)＝(1,3,5)T第2次迭代

2、，k=1X(2)＝(5,－3,－3)T第3次迭代，k=2X(3)＝(1,1,1)T第4次迭代，k=3X(4)＝(1,1,1)T例4證明例2的線性方程組，雅可比迭代法收斂，而高斯－賽德爾迭代法發(fā)散。證明例2中線性方程組的系數(shù)矩陣為A＝于是D＝D－1＝D雅可比迭代矩陣為B0＝得到矩陣B0的特征根，根據(jù)迭代基本定理4，雅可比迭代法收斂。高斯－賽德爾迭代矩陣為G＝－＝－解得特征根為l1=0，l2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－賽德爾迭代發(fā)散。例5填空選擇題：1.用高斯列主元消去法解線性方程組作第1次消元后的第2，3個(gè)

3、方程分別為。答案：解答選a21=2為主元，作行互換，第1個(gè)方程變?yōu)椋?x1+2x2+3x3=3，消元得到是應(yīng)填寫的內(nèi)容。3.用高斯－賽德爾迭代法解線性方程組的迭代格式中＝(k=0,1,2,…)答案：解答：高斯－賽德爾迭代法就是充分利用已經(jīng)得到的結(jié)果，求x2的值時(shí)應(yīng)該用上x1的新值。第三章典型例題例1已知函數(shù)y=f(x)的觀察數(shù)據(jù)為xk－2045yk51－31試構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式Pn(x)，并計(jì)算f(－1)的近似值。[只給4對(duì)數(shù)據(jù)，求得的多項(xiàng)式不超過3次]解先構(gòu)造基函數(shù)所求三次多項(xiàng)式為P3(x)=＝＋－＋＝f(

4、－1)?P3(－1)＝例3設(shè)是n+1個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)，是拉格朗日插值基函數(shù)，證明：(1)(2)證明(1)Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x)=當(dāng)f(x)o1時(shí)，1＝由于，故有(2)對(duì)于f(x)=xm,m=0,1,2,…,n，對(duì)固定xm(0￡m￡n),作拉格朗日插值多項(xiàng)式，有當(dāng)n>m－1時(shí)，f(n+1)(x)=0，Rn(x)=0，所以注意：對(duì)于次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式,利用上結(jié)果，有==上式正是Qn(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式。可見，Qn(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身，即次數(shù)不超過n的多項(xiàng)

5、式在n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身。例5已知數(shù)據(jù)如表的第2，3列，試用直線擬合這組數(shù)據(jù)。解計(jì)算列入表中。n=5。a0,a1滿足的法方程組是kxkykxkyk11414224.5493369184481632558.52542.5S153155105.5解得a0=2.45,a1=1.25。所求擬合直線方程為y=2.45+1.25x例6選擇填空題1.設(shè)y=f(x),只要x0,x1,x2是互不相同的3個(gè)值，那么滿足P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多項(xiàng)式P(x)是(就唯一性回答問題)答

6、案：唯一的3.拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是()(A)(B)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)(C)(D)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)答案：(A)，(D)。見教材有關(guān)公式。第四章典型例題例1試確定求積公式的代數(shù)精度。[依定義，對(duì)xk(k=0,1,2,3,…)，找公式精確成立的k數(shù)值]解當(dāng)f(x)取1,x,x2,…時(shí)，計(jì)算求積公式何時(shí)精確成立。(1)取f(x)=1

7、,有左邊＝,右邊＝(2)取f(x)=x,有左邊＝,右邊＝(3)取f(x)=x2,有左邊=,右邊=(4)取f(x)=x3,有左邊=,右邊=(5)取f(x)=x4,有左邊=,右邊=當(dāng)k￡3求積公式精確成立，而x4公式不成立，可見該求積公式具有3次代數(shù)。例5試確定求積公式中的參數(shù)a，并證明該求積公式具有三次代數(shù)精度。解公式中只有一個(gè)待定參數(shù)a。當(dāng)f(x)=1,x時(shí)，有,即h=h,不能確定a，再令f(x)=x2,代入求積公式，得到,即得.求積公式為將f(x)=x3代入上求積公式，有可見，該求積公式至少具有三次代數(shù)精度。再

8、將f(x)=x4代入上公式中，有所以該求積公式具有三次代數(shù)精度。例6選擇填空題1.牛頓－科茨求積公式與高斯型求積公式的關(guān)鍵不同點(diǎn)是。解答：牛頓－科茨求積公式的節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)確定后，再估計(jì)其精度；高斯型求積公式是由精度確定其節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)。第五章典型例題例1證明方程1－x－sinx＝0在區(qū)間[0,1]內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不超過0.5×10－4的根要迭代多少次？證明令