資源描述：
《橢圓中的最值問題》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、橢圓中的最值問題邢志平本文提供了解決橢圓中最值問題的三個(gè)方向：幾何化、代數(shù)化、三角化，這三個(gè)方向在解決其它圓錐曲線中最值問題時(shí)也可用。1.幾何化方向畫出圖形，利用幾何圖形的性質(zhì)按幾何思路借助解析方法求解。例1.已知點(diǎn)、B（2，0），在橢圓上求一點(diǎn)P，使
2、AP
3、+2
4、BP
5、最小，則P點(diǎn)坐標(biāo)為___________。解根據(jù)題意，知B為橢圓的右焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一點(diǎn)。因?yàn)?，所以。由橢圓第二定義，知，即，所以，這樣，問題就轉(zhuǎn)化為求一點(diǎn)P到A點(diǎn)及L的距離和的最小值。過A作AN⊥L于N，交橢圓于P點(diǎn)，P即為所求。所以P點(diǎn)坐標(biāo)為。例2.已知橢圓
6、上一動(dòng)點(diǎn)P，與圓上一動(dòng)點(diǎn)Q，及圓上一動(dòng)點(diǎn)R，求
7、PQ
8、+
9、PR
10、的最大值。解如圖1，連結(jié)PF1、PF2及F1R、F2Q，所以得到△PRF1及△PQF2，根據(jù)題意可知，圓心恰好為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)。在三角形中
11、PR
12、<
13、PF1
14、+
15、F1R
16、，
17、RQ
18、<
19、PF2
20、+
21、F2Q
22、，所以，即。當(dāng)P、F1、R與P、F2、Q都共線時(shí)，，所以
23、PQ
24、+
25、PR
26、的最大值是6。在問題轉(zhuǎn)化過程中常利用橢圓的兩個(gè)定義。2.代數(shù)化方向先求出變量的函數(shù)表達(dá)式（或目標(biāo)函數(shù)）然后用適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方法（如：配方、均值不等式、函數(shù)單調(diào)性等）加以解決。例3.若以橢圓上一點(diǎn)和
27、兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的最大面積為1，則此橢圓的長軸長的最小值為___________。解在橢圓上取一點(diǎn)P（x，y），。當(dāng)P點(diǎn)在短軸頂點(diǎn)時(shí)，
28、y
29、最大為b，所以。又，所以。先利用面積與高的函數(shù)關(guān)系式，確定面積的最大值，再找出長軸長與已知等式函數(shù)關(guān)系式利用不等式求最值。例4.設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率，已知點(diǎn)P（0，）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離為，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)。分析本題是一道“動(dòng)中求靜”的綜合問題，必須用函數(shù)觀點(diǎn)分析。解從可推出a=2b，于是可設(shè)橢圓方程為，即。設(shè)M（x，y
30、）是橢圓上任意一點(diǎn)，且，于是，有由于，于是轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間，求二次函數(shù)的最值問題，從“軸定區(qū)間動(dòng)”的規(guī)律知若時(shí)，則，所以，此方程的解不滿足。若，則，所以，解得，因此，所求的橢圓方程為，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，－1）。本題利用了二次函數(shù)閉區(qū)間的最值問題的討論。3.三角化方向求出目標(biāo)函數(shù)的三角函數(shù)表達(dá)式，利用三角函數(shù)求值域。例5.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則x+y的最大值____________。解因?yàn)閤，y滿足橢圓方程，所以可設(shè)，于是，。所以，。例6.已知橢圓，取B（0，）及另外動(dòng)點(diǎn)P，若以BP為邊作正△BPQ，當(dāng)P變動(dòng)時(shí)，求△BPQ面積的最大值
31、。分析聯(lián)想橢圓的參數(shù)方程，構(gòu)建面積S的函數(shù)方程，進(jìn)而利用三角函數(shù)求最值。解在橢圓為橢圓的短軸頂點(diǎn)，設(shè)P（），則，，所以，所以當(dāng)，即P（0，）時(shí)，。根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇簡(jiǎn)潔的方法。有時(shí)，各種方法結(jié)合起來，則會(huì)更快捷。［練習(xí)］1.P是橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為焦點(diǎn)，則
32、PF1
33、·
34、PF2
35、的最大值是______。2.過原點(diǎn)的直線與橢圓=1（a>b>0）相交于A、B兩點(diǎn)，若F（c，0）是橢圓的右焦點(diǎn)，則△FAB的最大面積為（）A.b2B.bcC.acD.ab3.設(shè)點(diǎn)P在圓上移動(dòng)，點(diǎn)Q在橢圓上移動(dòng)，求
36、PQ
37、的最大值及相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)。
