橢圓中的最值問題

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1、3橢圓中的最值問題一．橢圓中線段的最值（1）橢圓中最長的直徑為，最短的直徑為；（2）橢圓中最長的焦點(diǎn)弦為，最短的焦點(diǎn)弦為通徑（）；（3）橢圓中最大的焦半徑為，最小的焦半徑為；或者說：橢圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為，最小值為；二．橢圓中常見角的最值設(shè)點(diǎn)為橢圓上任一點(diǎn)，則焦點(diǎn)三角形的頂角的最大值為，且，的最大值為；的最大值為；例1．為橢圓上的一點(diǎn)，、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則最小值為三．平面內(nèi)任一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和（差）的最值問題設(shè)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，、為兩定點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)取得最小值；圖1當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段（或）的延長線時(shí)取等號(hào)．圖2例2．（1）已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，使得最小

2、，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在橢圓上，則的最小值是；的最大值是．3例3．已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為，最小值為．四．平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)和定直線的距離之和的最小值問題設(shè)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，為定直線外的一定點(diǎn)，為到的距離，為到的距離，則的最小值為．例4．已知定點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．五．直線上一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的視角的最大值問題、是直線同側(cè)兩定點(diǎn)，且直線，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則有最大值．使最大的點(diǎn)有何幾何意義呢？由于點(diǎn)、是定點(diǎn)，為定直線，我們不妨利用幾何畫板研究過三點(diǎn)、、的圓，（如圖5、6）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過三點(diǎn)、、的

3、圓與直線的關(guān)系是相交或相切，當(dāng)圓與直線相交時(shí)，上總存在點(diǎn)在圓內(nèi)且使；當(dāng)且僅當(dāng)圓與直線相切時(shí)，直線上除切點(diǎn)外，其余點(diǎn)均在圓外，由同弧上的圓周角與圓外角的大小關(guān)系，此時(shí)最大，切點(diǎn)即為所求．3例5．是橢圓的左右焦點(diǎn)，是橢圓的準(zhǔn)線，點(diǎn)，求的最大值．（）解法2：因?yàn)楫?dāng)過、三點(diǎn)的圓與準(zhǔn)線相切時(shí)，最大，由切割線定理得，故六．當(dāng)直線與橢圓相離時(shí)，橢圓上總存在到直線的距離有最大（?。┲档狞c(diǎn)方法1：設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離公式——求三角函數(shù)的最值；方法2：設(shè)與平行的直線系——與橢圓方程聯(lián)立消元——令——得出與平行的橢圓的兩條切線、——求出與、與的距離即為所求．例6．設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓

4、與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，求△MON面積的最大值．練習(xí)1．（）已知點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在軸上的射影是M，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則的最小值是（A）（B）4（C）（D）5練習(xí)2．已知拋物線和一點(diǎn)，在拋物線上求一點(diǎn)，使得此點(diǎn)到點(diǎn)與到焦點(diǎn)的距離之和最?。?/p>