數(shù)學(xué)建模層次分析方法

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1、層次分析法建模層次分析法（AHP－AnalyticHierachyprocess）----多目標(biāo)決策方法70年代由美國運(yùn)籌學(xué)家T·L·Satty提出的，是一種定性與定量分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法論。吸收利用行為科學(xué)的特點，是將決策者的經(jīng)驗判斷給予量化，對目標(biāo)（因素）結(jié)構(gòu)復(fù)雜而且缺乏必要的數(shù)據(jù)情況下，採用此方法較為實用，是一種系統(tǒng)科學(xué)中，常用的一種系統(tǒng)分析方法，因而成為系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。一、問題舉例：A．大學(xué)畢業(yè)生就業(yè)選擇問題獲得大學(xué)畢業(yè)學(xué)位的畢業(yè)生，“雙向選擇”時，用人單位與畢業(yè)生都有各自的選擇標(biāo)準(zhǔn)和要求。就畢業(yè)生來說選擇單位的標(biāo)準(zhǔn)和要求是多方面的，例如：①能發(fā)揮自己的才干為國家作

2、出較好貢獻(xiàn)（即工作崗位適合發(fā)揮專長）；②工作收入較好（待遇好）；③生活環(huán)境好（大城市、氣候等工作條件等）；④單位名聲好（聲譽(yù)-Reputation）；⑤工作環(huán)境好（人際關(guān)系和諧等）⑥發(fā)展晉升（promote,promotion）機(jī)會多（如新單位或單位發(fā)展有后勁）等。問題：現(xiàn)在有多個用人單位可供他選擇，因此，他面臨多種選擇和決策，問題是他將如何作出決策和選擇？——或者說他將用什么方法將可供選擇的工作單位排序？工作選擇生活環(huán)境工作環(huán)境聲譽(yù)收入發(fā)展貢獻(xiàn)可供選擇的單位P1’P2‘-----PnＢ.假期旅游地點選擇暑假有3個旅游勝地可供選擇。例如：：蘇州杭州，北戴河，桂林，到底到哪個地方去旅游最好？要

3、作出決策和選擇。為此，要把三個旅游地的特點，例如：①景色；②費(fèi)用；③居住；④環(huán)境；⑤旅途條件等作一些比較——建立一個決策的準(zhǔn)則，最后綜合評判確定出一個可選擇的最優(yōu)方案。選擇旅游地目標(biāo)層居住旅途景色費(fèi)用飲食準(zhǔn)則層P1P2P3方案層6C．資源開發(fā)的綜合判斷7種金屬可供開發(fā)，開發(fā)后對國家貢獻(xiàn)可以通過兩兩比較得到，決定對哪種資源先開發(fā)，效用最用。對經(jīng)濟(jì)發(fā)展、貢獻(xiàn)U經(jīng)濟(jì)價值戰(zhàn)略重要性交通條件要求量風(fēng)險費(fèi)開採費(fèi)金Go鋁Al鈿Ur磷酸鹽鐵In銅Co二、問題分析：例如旅游地選擇問題：一般說來，此決策問題可按如下步驟進(jìn)行：（S1）將決策解分解為三個層次，即：目標(biāo)層：（選擇旅游地）準(zhǔn)則層：（景色、費(fèi)用、居住、飲

4、食、旅途等5個準(zhǔn)則）方案層：（有，，三個選擇地點）并用直線連接各層次。（S2）互相比較各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，各方案對每一個準(zhǔn)則的權(quán)重。這些權(quán)限重在人的思維過程中常是定性的。例如：經(jīng)濟(jì)好，身體好的人：會將景色好作為第一選擇；中老年人：會將居住、飲食好作為第一選擇；經(jīng)濟(jì)不好的人：會把費(fèi)用低作為第一選擇。而層次分析方法則應(yīng)給出確定權(quán)重的定量分析方法。（S3）將方案層對準(zhǔn)則層的權(quán)重，及準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行綜合。（S4）最終得出方案層對目標(biāo)層的權(quán)重，從而作出決策。以上步驟和方法即是AHP的決策分析方法。三、確定各層次互相比較的方法——成對比較矩陣和權(quán)向量因素比較方法——成對比較矩陣法：目的是，要比較

5、某一層個因素對上一層因素O的影響（例如：旅游決策解中，比較景色等5個準(zhǔn)則在選擇旅游地這個目標(biāo)中的重要性）。采用的方法是：每次取兩個因素和比較其對目標(biāo)因素O的影響，并用表示，全部比較的結(jié)果用成對比較矩陣表示，即：（1）6由于上述成對比較矩陣有特點：故可稱為正互反矩陣：顯然，由，即：，故有：四、一致性檢驗——一致性指標(biāo)：1．一致性檢驗指標(biāo)的定義和確定——的定義：一般，認(rèn)為主觀判斷矩陣的一致性可以接受，否則應(yīng)重新進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造主觀判斷矩陣。2．隨機(jī)一致性檢驗指標(biāo)——問題：實際操作時發(fā)現(xiàn)：主觀判斷矩陣的維數(shù)越大，判斷的一致性越差，故應(yīng)放寬對高維矩陣的一致性要求。于是引入修正值來校正一致性檢驗指標(biāo)

6、：即定義的修正值表為：的維數(shù)1234567890.000.000.580.961.121.241.321.411.45并定義新的一致性檢驗指標(biāo)——一致性比率為：當(dāng)：時，認(rèn)為主觀判斷矩陣的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量。否則，對主觀判斷矩陣重新進(jìn)行成對比較，構(gòu)重新的主觀判斷矩陣。注：上式的選取是帶有一定主觀信度的。五、標(biāo)度——比較尺度解：標(biāo)度定義135792，4，6，8，因素與因素相同重要因素比因素稍重要因素比因素較重要6倒數(shù)1，因素比因素非常重要因素比因素絕對重要因素與因素的重要性的比較值介于上述兩個相鄰等級之間因素與因素比較得到判斷值為的互反數(shù)，　　六、組合權(quán)向量的計算

7、——層次總排序的權(quán)向量的計算七、層次分析法的基本步驟：（S1）建立層次結(jié)構(gòu)模型將有關(guān)因素按照屬性自上而下地分解成若干層次：同一層各因素從屬于上一層因素，或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時又支配下一層的因素或受到下層因素的影響。最上層為目標(biāo)層（一般只有一個因素），最下層為方案層或?qū)ο髮?決策層，中間可以有1個或幾個層次，通常為準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。當(dāng)準(zhǔn)則層元素過多（例如多于9個）時，應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層。（S2）構(gòu)造成對比較