應(yīng)用泛函分析教案2new

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1、§4柯西點(diǎn)列和完備度量空間教學(xué)內(nèi)容(或課題)：目的要求：掌握柯西點(diǎn)列、完備度量空間的概念，學(xué)會(huì)使用概念和完備度量空間的充要條件判別完備度量空間.教學(xué)過程：設(shè)是中的點(diǎn)列，若0，，s.t.當(dāng)時(shí)，有=，則稱是中的柯西點(diǎn)列.Def1設(shè)=(，)是度量空間，是中的點(diǎn)列.若0,，s.t.當(dāng)時(shí)，有，則稱是中的柯西點(diǎn)列或基本點(diǎn)列.若度量空間(，)中每個(gè)柯西點(diǎn)列都收斂，則稱(，)是完備的度量空間.有理數(shù)的全體按絕對(duì)值距離構(gòu)成的空間不完備，如點(diǎn)列1,1.4,1,41,在中收斂于，在有理數(shù)集中不收斂.但度量空間中每一個(gè)

2、收斂點(diǎn)列都是柯西點(diǎn)列.實(shí)因若，則0,，s.t.當(dāng)時(shí)，都有.因此當(dāng)時(shí)，有++.所以是柯西點(diǎn)列.例2(表有界實(shí)或復(fù)數(shù)列全體)是完備度量空間.證明設(shè)是中的柯西點(diǎn)列，其中=.0,，s.t.當(dāng)時(shí)，都有=(1)因此對(duì)每個(gè)固定的，當(dāng)時(shí)，成立42(2)于是，是柯西數(shù)列.由于實(shí)數(shù)集或復(fù)數(shù)集按差的絕對(duì)值定義距離是完備的，故存在實(shí)或復(fù)數(shù)，s.t.()令=，往證且.在(2)中，令，得時(shí)，成立(3)因?yàn)?，所以0，s.t.，成立(不同的數(shù)列，界可能不一樣).所以+.所以.由(3)知，時(shí)，成立.所以.所以是完備度量空間.例

3、2令表示所有收斂的實(shí)或復(fù)數(shù)列的全體，=，=，令=.則0且=時(shí)，=0.又==0=().于是=0=.=，則由于對(duì)，成立++=+.所以+.即+.所以可定義為中兩點(diǎn)間的距離.于是按距離成為度量空間(實(shí)際上是的一個(gè)子空間).欲證是完備度量空間，先證42Th1完備度量空間的子空間是完備度量空間是中的閉子空間.證明設(shè)是完備子空間，對(duì)每個(gè)，中點(diǎn)列，使.所以是中柯西點(diǎn)列.所以它在中收斂.由極限的唯一性，所以.所以.即是中的閉子空間.反之，若是中柯西點(diǎn)列，因是完備度量空間，則在中收斂.即，s.t..因?yàn)槭侵械拈]子空

4、間，所以，所以在中收斂.于是是完備度量空間.例2的證明由Th1只證是中的閉子空間即可.=(要證，從而)，=()，s.t..所以0，，s.t.當(dāng)時(shí)，成立=.特別取，則對(duì)，成立.因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，收斂.故，s.t.,時(shí)，成立.所以,時(shí)，成立++++=.所以是柯西數(shù)列，因而收斂.所以=.所以是中的閉子空間.由Th1，是完備度量空間.證畢.作業(yè)：206.14.15中的.42作業(yè)題解：14=1，，s.t.當(dāng)時(shí)，有1,特別當(dāng)時(shí)，有1.又時(shí)，只有有限個(gè)值故0,s.t..因此，成立+.所以是有界點(diǎn)列.15設(shè)是中的

5、柯西點(diǎn)列，=.即0,，s.t.時(shí)，成立=()所以，時(shí)，成立.因?yàn)榻o0，對(duì)于每個(gè)固定的，：0，然后由這個(gè)，按不等式()，.所以時(shí)，對(duì)這個(gè)固定的，成立.所以().所以是實(shí)(復(fù))數(shù)集中的柯西點(diǎn)列.而實(shí)(復(fù))數(shù)集完備,所以收斂，設(shè)().記=，則.而，所以完備.設(shè)是中的柯西點(diǎn)列，=，.0，，s.t.當(dāng)時(shí)，成立.所以及，成立42.()因此在集上，函數(shù)列收斂，設(shè).由()式，令得時(shí)，.所以時(shí)，++(由于收斂，從而存在).所以，又已證所以是完備度量空間.柯西點(diǎn)列和完備度量空間(續(xù))教學(xué)內(nèi)容(或課題)：目的要求：再

6、次鞏固上次課學(xué)習(xí)的概念與定理，進(jìn)一步掌握使用概念及定理判別完備度量空間的常用方法.教學(xué)過程：是完備的度量空間.證明設(shè)，是中的柯西點(diǎn)列.0，，s.t.當(dāng)時(shí)，成立.(4)所以，有.于是當(dāng)固定時(shí)，是柯西數(shù)列.由實(shí)(復(fù))數(shù)集的完備性，，s.t..往證，實(shí)因在(4)中令，得知時(shí)，成立.(5)所以在42上一致收斂于，從而.由(5)，當(dāng)時(shí)，=.所以，故是完備度量空間.令表示閉區(qū)間上實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體,作為的子空間是不完備的度量空間.實(shí)因多項(xiàng)式列在閉區(qū)間上一致收斂于連續(xù)的指數(shù)函數(shù)，但非多項(xiàng)式.即不是的閉子空間.由

7、Th1，不是完備度量空間.證畢.設(shè)表示閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)全體，對(duì)，令=.易知成為度量空間.實(shí)因顯然0.若時(shí)，，從而=0.反之若=0，即=0.因0，故=于.又因相等的連續(xù)函數(shù)必然處處相等，故.總之0且=0.=+=+.所以是度量空間.例5上面定義的度量空間不完備.42證明令=先證是中的柯西點(diǎn)列.實(shí)因，當(dāng)時(shí)，===.所以點(diǎn)列是中的柯西點(diǎn)列.再證點(diǎn)列在中不收斂.實(shí)因?qū)γ總€(gè)，==++.若0,必有==0.但由于在閉區(qū)間上連續(xù)，得在恒為0，在恒為1.42與在=間斷相矛盾.故是不完備的度量空間.作業(yè)：206.15

8、.、離散空間.作業(yè)解答：設(shè)是中的基本點(diǎn)列，0，有=.0，，s.t.，，有.從而.所以0.由此可找到自然數(shù)列：，s.t.對(duì)都成立.記=,再令=，則-=，=.令，得=0.所以=.顯見在上處處收斂于一個(gè)極限函數(shù)，記這個(gè)極限函數(shù)為.令=則為上的可測(cè)函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，由42=，令，由勒貝格有界收斂定理，得.所以.故是完備的度量空間.§5.度量空間的完備化教學(xué)內(nèi)容(或課題)：目的要求：使學(xué)生掌握度量空間的完備化定理的條件、結(jié)論及其證明方法.教學(xué)過程：Der1設(shè)(,)，(,)是兩個(gè)度量空間，若存在到上的保距映照