《數(shù)理方程》復(fù)習(xí)匯總new

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1、《數(shù)理方程》復(fù)習(xí)匯總一、分離變量法1.波動(dòng)方程以下分別對(duì)波動(dòng)方程的四種振動(dòng)方式進(jìn)行概述，其中對(duì)形式I進(jìn)行詳述，其他形式類推。形式Iutt=a2uxx00u0,t=0,ul,t=0t>0u(x,0)=φx,utx,0=ψx,0≤x≤l.將u(x,t)中的x,t分離出來，其形式為：ux,t=XxT(t)式中X(x),T(t)分別表示僅與x,t有關(guān)的待定函數(shù)。由ux,t=XxT(t)得XxTt=a2X(x)T(t)X''(x)X(x)=T''(t)a2T(t)=-λX''x+λXx=0T''t+λa2Tt=0由邊界條件知X(0)=

2、X(l)=0已知λ≤0時(shí)沒有非零解當(dāng)λ>0時(shí)Xx=Acosλx+Bsinλx由初值可知λ=nπl(wèi)(n=1,2,3…)Xnx,t=Bnsinnπl(wèi)x(n=1,2,3…)再將λ代入T(t)中得Tnt=C'ncosnπalt+D'nsinnπaltunx,t=Ancosnπalt+Bnsinnπaltsinnπl(wèi)xux,t=n=1∞un=n=1∞Ancosnπalt+Bnsinnπaltsinnπl(wèi)x代入初值得An=2lolφxsinnπl(wèi)xdxnπalBn=2lolψxsinnπl(wèi)xdx解得An，Bn后代入所設(shè)函數(shù)中即可求得關(guān)于ux,t的定解

3、問題。形式IIutt=a2uxx00ux0,t=0,uxl,t=0t>0u(x,0)=φx,utx,0=ψx,0≤x≤l.由邊界條件（紅色標(biāo)出字體）可確定其特征函數(shù)系為cosnπl(wèi)x,故可設(shè)ux,t=n=0∞Ancosnπalt+Bnsinnπaltcosnπl(wèi)x或直接設(shè)為ux,t=a02+n=1∞Ancosnπalt+Bnsinnπaltcosnπl(wèi)x其中An=2lolφxcosnπl(wèi)xdxnπalBn=2lolψxcosnπl(wèi)xdx解得An，Bn后代入所設(shè)函數(shù)中即可求得關(guān)于ux,t的定解問題。形式IIIutt=a2uxx

4、00u0,t=0,uxl,t=0t>0u(x,0)=φx,utx,0=ψx,0≤x≤l.由邊界條件可確定其特征函數(shù)系為sin(2n+1)2lx,故可設(shè)ux,t=n=0∞Ancos(2n+1)πa2lt+Bnsin(2n+1)πa2ltsinnπl(wèi)(2n+1)π2lx其中An=2lolφxsin(2n+1)π2lxdx(2n+1)π2lBn=2lolψxsin(2n+1)π2lxdx解得An，Bn后代入所設(shè)函數(shù)中即可求得關(guān)于ux,t的定解問題。形式IVutt=a2uxx00ux0,t=0,ul,t=0t>0u(x

5、,0)=φx,utx,0=ψx,0≤x≤l.由邊界條件（紅色字體標(biāo)出）可確定其特征函數(shù)系為cos(2n+1)2lx,故可設(shè)ux,t=n=0∞Ancos(2n+1)πa2lt+Bnsin(2n+1)πa2ltcosnπl(wèi)(2n+1)π2lx其中An=2lolφxcos(2n+1)π2lxdx(2n+1)π2lBn=2lolψxcos(2n+1)π2lxdx解得An，Bn后代入所設(shè)函數(shù)中即可求得關(guān)于ux,t的定解問題。1.熱傳導(dǎo)方程同波動(dòng)方程的分析相似，我們也分四種形式進(jìn)行討論。形式Iut=a2uxx00u0,t=0,ul,t=

6、0t>0u(x,0)=φx,0≤x≤l.由邊界條件（紅色字體標(biāo)出）可確定其特征函數(shù)系為sinnπl(wèi)x,故可設(shè)ux,t=n=1∞Cne-(nπal)2tsinnπl(wèi)x其中Cn=2lolφxsinnπl(wèi)xdx解得Cn后代入所設(shè)函數(shù)中即可求得關(guān)于ux,t的定解問題。形式IIut=a2uxx00ux0,t=0,uxl,t=0t>0u(x,0)=φx,0≤x≤l.由邊界條件可確定其特征函數(shù)系為cosnπl(wèi)x,故可設(shè)ux,t=n=0∞Cne-(nπal)2tcosnπl(wèi)x或直接寫成ux,t=a02+n=1∞Cne-(nπal)2tcos

7、nπl(wèi)x其中Cn=2lolφxcosnπl(wèi)xdx解得Cn后代入所設(shè)函數(shù)中即可求得關(guān)于ux,t的定解問題。形式IIIut=a2uxx00u0,t=0,uxl,t=0t>0u(x,0)=φx,0≤x≤l.由邊界條件可確定其特征函數(shù)系為sin(2n+1)π2lx,故可設(shè)ux,t=n=0∞Cne-((2n+1)πa2l)2tsin(2n+1)π2lx其中Cn=2lolφxsin(2n+1)π2lxdx解得Cn后代入所設(shè)函數(shù)中即可求得關(guān)于ux,t的定解問題。形式IVut=a2uxx00ux0,t=0,ul,t=0t>0u

8、(x,0)=φx,0≤x≤l.由邊界條件可確定其特征函數(shù)系為cos(2n+1)π2lx,故可設(shè)ux,t=n=0∞Cne-((2n+1)πa2l)2tcos(2n+1)π2lx其中Cn=2lol