同倫攝動(dòng)稀疏正則化方法及其在

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1、同倫攝動(dòng)稀疏正則化方法及其在初始地形地貌重構(gòu)中的應(yīng)用摘要：稀疏正則化方法在參數(shù)重構(gòu)中起到了越來(lái)越重要的作用。與傳統(tǒng)的正則化方法相比，稀疏正則化方法能較好地重構(gòu)稀疏變量。由于稀疏正則化的不可微性，需要對(duì)已有的經(jīng)典算法進(jìn)行改進(jìn)。本文構(gòu)建同倫攝動(dòng)稀疏正則化方法克服標(biāo)準(zhǔn)稀疏正則化的不可微性，并應(yīng)用該方法應(yīng)用到項(xiàng)目問(wèn)題中，能夠有效地重構(gòu)山體初始表面。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，所提出的方法是收斂和穩(wěn)定的。關(guān)鍵詞：稀疏正則化；同倫攝動(dòng)稀疏正則化方法；參數(shù)重構(gòu)；重構(gòu)山體初始表面1.引言參數(shù)重構(gòu)在許多應(yīng)用中起到重要作用，如波動(dòng)率和

2、政策參數(shù)重構(gòu)[1,2]，在其他工程實(shí)踐領(lǐng)域也有重要的應(yīng)用，例如：圖像去噪[3,4]，地震信號(hào)重構(gòu)[5,6]以及心電信號(hào)重構(gòu)[7,8]。一般情況下，參數(shù)重構(gòu)問(wèn)題是不適定的，也就是說(shuō)，即使測(cè)量數(shù)據(jù)的噪聲水平很小，也可能導(dǎo)致重構(gòu)結(jié)果嚴(yán)重偏離真實(shí)參數(shù)[9]。正則化方法主要就是為了克服參數(shù)重構(gòu)的不適定性，通過(guò)選取合適的正則化方法能夠抑制觀測(cè)數(shù)據(jù)中誤差對(duì)于參數(shù)重構(gòu)的不良影響，獲得較為準(zhǔn)確的重構(gòu)值。使用最為普遍的正則化方法是吉洪諾夫正規(guī)化方法，它的目標(biāo)函數(shù)是由擬合項(xiàng)和懲罰項(xiàng)構(gòu)成。吉洪諾夫正則化方法已被用于許多參數(shù)辨

3、識(shí)問(wèn)題中，很多學(xué)者對(duì)其數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行了研究，如Landweber方法[10]，高斯牛頓法[11]，Newton-Kaczmarz方法[12]和多尺度平滑方法[13]，這些方法能夠有效地重構(gòu)光滑參數(shù)。隨著經(jīng)濟(jì)和金融理論的發(fā)展，波動(dòng)率和經(jīng)濟(jì)政策參數(shù)的重構(gòu)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于許多實(shí)際問(wèn)題中。在實(shí)際應(yīng)用中，很多需要重構(gòu)的參數(shù)都是稀疏的，即參數(shù)的非零元素的數(shù)目非常有限，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于零元素的數(shù)目。即使重構(gòu)參數(shù)稀疏程度不夠，也可以利用小波和曲波變換使參數(shù)稀疏化。本文先對(duì)該方法在經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域中的應(yīng)用進(jìn)行研究，因?yàn)檫@兩個(gè)領(lǐng)域

4、中的參數(shù)通?？梢苑殖梢阎糠趾臀粗糠帧Ｒ阎糠滞ǔＥc已有的經(jīng)濟(jì)和金融政策相對(duì)應(yīng)，而未知部分通過(guò)參數(shù)重構(gòu)，再將結(jié)果進(jìn)行經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)解釋?zhuān)軌驗(yàn)檎咧贫ú块T(mén)提供行之有效的對(duì)策建議。通過(guò)這兩類(lèi)問(wèn)題的研究表明該方法能夠應(yīng)用到參數(shù)分解成已知部分和未知部分的問(wèn)題中。然后再將該方法應(yīng)用到較為復(fù)雜的山體表面重構(gòu)問(wèn)題中。傳統(tǒng)的吉洪諾夫正則化方法對(duì)于重構(gòu)稀疏參數(shù)效果很不好，而稀疏正則化方法卻能較好地重構(gòu)稀疏參數(shù)，但是稀疏正則化是不可微的，因此需要采用一些技巧來(lái)克服這一困難，典型的方法是Bregman迭代[14,15-

5、17]。本文構(gòu)造同倫攝動(dòng)稀疏正則化方法，達(dá)到提高算法精度和提高計(jì)算效率的目的。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明同倫攝動(dòng)稀疏正則化方法是收斂和穩(wěn)定的。2.稀疏正則化方法在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于光滑參數(shù)重構(gòu)，吉洪諾夫正則化方法具有良好的收斂性和穩(wěn)定性。但是，在稀疏參數(shù)重構(gòu)時(shí)，吉洪諾夫正則化方法的重構(gòu)效果很差，很難滿足工程實(shí)踐的要求。因此，需要采用稀疏正則化方法進(jìn)行參數(shù)重構(gòu)。2.1吉洪諾夫正則化方法參數(shù)重構(gòu)問(wèn)題可以歸結(jié)為非線性算子方程(1)的形式：(1)其中，分別代表非線性算子、需要重構(gòu)的參數(shù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)。在實(shí)際問(wèn)題中，往往還需要考慮

6、觀測(cè)數(shù)據(jù)和理想數(shù)據(jù)之間的噪音水平，即：(2)其中，分別代表真實(shí)的觀測(cè)數(shù)據(jù)和噪音水平。參數(shù)重構(gòu)的難點(diǎn)在于不適定性，很小的噪音水平也會(huì)使得重構(gòu)結(jié)果嚴(yán)重背離真實(shí)的物理參數(shù)，從而造成結(jié)果的無(wú)意義。解決這一難點(diǎn)最重要的方法就是吉洪諾夫正則化方法，與之對(duì)應(yīng)的吉洪諾夫正則化目標(biāo)函數(shù)定義為：(3)其中，是在范數(shù)意義下的數(shù)據(jù)擬合項(xiàng),是起到穩(wěn)定作用的懲罰項(xiàng),參數(shù)為正則化參數(shù),該參數(shù)主要是起到平衡數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)和懲罰項(xiàng)的作用。吉洪諾夫正則化方法主要是求解下面的優(yōu)化問(wèn)題.(4)最小值滿足如下的歐拉方程：(5)其中，是F-導(dǎo)數(shù)。在

7、求解方程(5)的時(shí)候，采用的最普遍的方法是Landweber方法，該方法可以寫(xiě)成下面的表達(dá)式：,(6)其中，表示迭代次數(shù)。方程(6)是著名的Landweber迭代格式，該數(shù)值格式的顯著優(yōu)點(diǎn)是穩(wěn)定性特別好，但是，收斂速度很慢，不適合應(yīng)用到大型實(shí)際問(wèn)題中。另一個(gè)重要的方法就是高斯-牛頓方法，該方法收斂速度較快，但是，不如Landweber方法穩(wěn)定。本文主要是在Landweber方法基礎(chǔ)上研究同倫攝動(dòng)稀疏正則化方法，整個(gè)過(guò)程可以推廣到高斯-牛頓方法上。2.2稀疏正則化方法為了能夠有效地重構(gòu)稀疏變量，將標(biāo)準(zhǔn)的

8、吉洪諾夫正則化方法進(jìn)行改進(jìn)，使得吉洪諾夫正則化目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為如下形式:,(7)其中，表示向量的非零元素的個(gè)數(shù)。近些年，由于稀疏正則化方法能夠有效地重構(gòu)稀疏變量，使得反問(wèn)題領(lǐng)域?qū)W者越來(lái)越多地重視該方法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。該方法的難點(diǎn)在于，泛函(7)的懲罰項(xiàng)是不可微的，而且該問(wèn)題還是NP不可解問(wèn)題。為了解決NP不可解難點(diǎn)，采用下面的形式進(jìn)行替代：,(8)其中，范數(shù)表示.在泛函(8)中,利用范數(shù)代替了原有的范數(shù)，這樣的改進(jìn)使得計(jì)算效率得到了顯著的提高。盡管進(jìn)行