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《第3章 解線性方程組的數(shù)值解法2-lu分解法》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、3.2矩陣的三角分解法我們知道對矩陣進行一次初等變換，就相當于用相應的初等矩陣去左乘原來的矩陣。因此我們這個觀點來考察Gauss消元法用矩陣乘法來表示，即可得到求解線性方程組的另一種直接法：矩陣的三角分解。3.2.1Gauss消元法的矩陣形式3.2.2Doolittle分解Doolittle分解若矩陣A有分解：A=LU，其中L為單位下三角陣，U為上三角陣，則稱該分解為Doolittle分解，可以證明，當A的各階順序主子式均不為零時，Doolittle分解可以實現(xiàn)并且唯一。A的各階順序主子式均不為零，即Doolittle分解Doolittle分解
2、Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解例題例題例題例題例題Doolittle分解3.2.3對稱矩陣的Cholesky分解在應用數(shù)學中，線性方程組大多數(shù)的系數(shù)矩陣為對稱正定這一性質(zhì)，因此利用對稱正定矩陣的三角分解式求解對稱正定方程組的一種有效方法，且分解過程無需選主元，有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。對稱矩陣的Cholesky分解A對稱：AT=AA正定：A的各階順序主子式均大于零。即對稱矩陣的Cholesky分解由Doolittle分解，A有唯一分解對稱矩陣的Cholesky分解定理3.2.4設A為對稱正定矩
3、陣，則存在唯一分解A=LDLT，其中L為單位下三角陣，D=diag(d1,d2,…,dn)且di>0(i=1,…,n)對稱矩陣的Cholesky分解證明：對稱矩陣的Cholesky分解對稱矩陣的Cholesky分解對稱矩陣的Cholesky分解推論：設A為對稱正定矩陣，則存在唯一分解其中L為具有主對角元素為正數(shù)的下三角矩陣。對稱矩陣的Cholesky分解證明：Cholesky分解的求法Cholesky分解的求法Cholesky分解的求法Cholesky分解法Cholesky分解法缺點及優(yōu)點優(yōu)點：可以減少存儲單元。缺點：存在開方運算，可能會出現(xiàn)根
4、號下負數(shù)。改進Cholesky分解法改進的cholesky分解A=LDLT改進的cholesky分解改進的cholesky分解改進的cholesky分解算法改進的cholesky分解算法例題例題例題例題A=LDLT分解，既適合于解對稱正定方程組，也適合求解A為對稱，而各階順序主子式不為零的方程組而對A=LLT只適合于對稱正定方程組3.2.4三對角方程組求解的追趕法三對角方程組求解的追趕法三對角方程組求解的追趕法三對角方程組求解的追趕法三對角方程組求解的追趕法其計算工作量為5n-4次乘除法。工作量小，其實現(xiàn)的條件為qi不為零。有以下定理可得證三對
5、角矩陣求解的充分性條件。解三對角矩陣線性方程組的追趕法程序框圖3.3矩陣求逆矩陣求逆矩陣求逆為使求逆過程不斷提高求解精度，因此增加選主元工作，最常用的是選列主元求逆。因此增加一個數(shù)組Z(n)，記錄選主元的交換號，最后在消元工作完成后，根據(jù)Z(n)對A中的元素進行相應的列交換，得到A-1Gauss—Jordan原地求逆法算法（原地求逆法）例題例題例題例題例題例題
