凸優(yōu)化理論與應(yīng)用凸集ppt課件

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1、信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn1凸優(yōu)化理論與應(yīng)用第一章凸集信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn2仿射集(Affinesets)直線的表示：線段的表示：仿射集的定義：過集合C內(nèi)任意兩點(diǎn)的直線均在集合C內(nèi)，則稱集合C為仿射集。仿射集的例：直線、平面、超平面信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn3仿射集仿射包：包含集合C的最小的仿射集。仿射維數(shù)：仿射包的維數(shù)。相對內(nèi)點(diǎn)（relativeinterior）：相對內(nèi)點(diǎn)信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjz

2、huang@bupt.edu.cn4信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn5凸集(ConvexSets)凸集的定義：集合C內(nèi)任意兩點(diǎn)間的線段均在集合C內(nèi)，則稱集合C為凸集。凸集信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn6信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn9信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn10凸集凸包的定義：包含集合C的最小的凸集。凸集信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn11信息與通信工程

3、學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn12錐(Cones)錐的定義（nonnegativehomogeneous）凸錐的定義：集合C既是凸集又是錐。錐包的定義：集合C內(nèi)點(diǎn)的所有錐組合。錐信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn13錐包信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn14信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn15超平面和半空間超平面(hyperplane)：半空間(Halfspace)：超平面信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang

4、@bupt.edu.cn16半空間信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn17信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn18歐氏球和橢球歐氏球(euclideanball):橢球(ellipsoid):橢圓球信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn19信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn20范數(shù)球和范數(shù)錐范數(shù)(norm)：范數(shù)球(normball)：范數(shù)錐(normcone)：信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt

5、.edu.cn21多面體(Polyhedra)多面體：單純形(simplex)：信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn22信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn23半正定錐(Positivesemidefinitecone)n階對稱矩陣集：n階半正定矩陣集：n階正定矩陣集：n階半正定矩陣集為凸錐！信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn24保持凸性的運(yùn)算集合交運(yùn)算仿射變換透視函數(shù)(perspectivefunction)線性分式函數(shù)(linear-

6、fractionalfunction)信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn25真錐(propercone)真錐的定義：錐滿足如下條件K具有內(nèi)點(diǎn)K內(nèi)不含直線信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn26廣義不等式真錐下的偏序關(guān)系：例：逐項(xiàng)不等式矩陣不等式廣義不等式嚴(yán)格廣義不等式信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn27廣義不等式的性質(zhì)信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn28嚴(yán)格廣義不等式的性質(zhì)信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjz

7、huang@bupt.edu.cn29最值和極值最小元的定義：設(shè)，對，都有成立，則稱為的最小元。極小元的定義：設(shè)，對于，若，則成立，則稱為的極小元。信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn30分割超平面(separatinghyperplane)定理：設(shè)和為兩不相交凸集，則存在超平面將和分離。即：信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn31支撐超平面(supportinghyperplane)定義：設(shè)集合，為邊界上的點(diǎn)。若存在，滿足對任意，都有成立，則稱超平面為集合在點(diǎn)處的支

8、撐超平面。定理：凸集邊界上任意一點(diǎn)均存在支撐超平面。定理：若一個(gè)閉的非中空集合，在邊界上的任意一點(diǎn)存在支撐超平面，則該集合為凸集。信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn32對偶錐(dualcone)對偶錐的定義：設(shè)為錐，則集合稱為對偶錐。對偶錐的性質(zhì)：真錐的對偶錐仍然是真錐！信