凸優(yōu)化理論與應(yīng)用_凸函數(shù)

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1、信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn1凸優(yōu)化理論與應(yīng)用第二章凸函數(shù)信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn2凸函數(shù)的定義1.定義域?yàn)橥辜?.，有凸函數(shù)的定義：函數(shù)，滿足凸函數(shù)的擴(kuò)展定義：若為凸函數(shù)，則可定義其擴(kuò)展函數(shù)為凸函數(shù)的擴(kuò)展函數(shù)也是凸函數(shù)！信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn3凸函數(shù)的一階微分條件若函數(shù)的定義域?yàn)殚_集，且函數(shù)一階可微，則函數(shù)為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)為凸集，且對(duì)信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn4凸函數(shù)的二階

2、微分條件若函數(shù)的定義域?yàn)殚_集，且函數(shù)二階可微，則函數(shù)為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)為凸集，且對(duì)，其Hessian矩陣信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn5凸函數(shù)的例冪函數(shù)負(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)負(fù)熵函數(shù)范數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn6凸函數(shù)的例信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn7下水平集(sublevelset)定理：凸函數(shù)的任一下水平集均為凸集。任一下水平集均為凸集的函數(shù)不一定為凸函數(shù)。稱為的下水平集。定義：集合信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuan

3、g@bupt.edu.cn8函數(shù)上半圖(epigraph)定理：函數(shù)為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)纳习雸D為凸集。稱為函數(shù)的上半圖。定義：集合信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn9Jensen不等式為凸函數(shù)，則有：Jensen不等式的另外形式：信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn10保持函數(shù)凸性的算子凸函數(shù)的逐點(diǎn)最大值凸函數(shù)與仿射變換的復(fù)合凸函數(shù)的非負(fù)加權(quán)和對(duì)固定，為凸函數(shù)。逐點(diǎn)最大值函數(shù)變換的例向量中個(gè)最大分量之和：對(duì)稱矩陣的最大特征值信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.

4、edu.cn11信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn12保持函數(shù)凸性的算子復(fù)合運(yùn)算凸函數(shù)的透視算子最小值算子為凸函數(shù)。信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn13共軛函數(shù)(conjugatefunction)定義：設(shè)函數(shù)，其共軛函數(shù)，定義為共軛函數(shù)的例共軛函數(shù)具有凸性！信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn14共軛函數(shù)的性質(zhì)Fenchel’sinequality性質(zhì)：若為凸函數(shù)，且的上半圖是閉集，則有性質(zhì)：設(shè)為凸函數(shù)，且可微，對(duì)于，若則信息與通信工程學(xué)院

5、莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn15準(zhǔn)凸函數(shù)(quasiconvexfunction)準(zhǔn)凸函數(shù)的例定義：設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的定義域和任意下水平集為凸集，則稱函數(shù)為準(zhǔn)凸函數(shù)。信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn16準(zhǔn)凸函數(shù)的判定定理定理：函數(shù)為準(zhǔn)凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)為凸集，且對(duì)，有準(zhǔn)凸函數(shù)的判定定理信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn17定理：若函數(shù)一階可微，則為準(zhǔn)凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)為凸集，且對(duì)，有準(zhǔn)凸函數(shù)的判定定理信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu

6、.cn18，有定理：若函數(shù)二階可微，且滿足對(duì)則函數(shù)準(zhǔn)凸函數(shù)。信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn19最小值函數(shù)非負(fù)權(quán)值函數(shù)的最大值函數(shù)保持準(zhǔn)凸性的算子復(fù)合函數(shù)是關(guān)于和的準(zhǔn)凸函數(shù)，且為凸集。信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn20準(zhǔn)凸函數(shù)的凸函數(shù)族表示若為準(zhǔn)凸函數(shù)，根據(jù)的任意下水平集，我們可以構(gòu)造一個(gè)凸函數(shù)族，使得性質(zhì)：若為準(zhǔn)凸函數(shù)的凸函數(shù)族表示，對(duì)每一個(gè)，若，則有例：信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn21對(duì)數(shù)凸函數(shù)為凸集為凸函數(shù)。定義：函數(shù)稱為對(duì)

7、數(shù)凸函數(shù)，若函數(shù)滿足：定理：函數(shù)的定義域?yàn)橥辜?，且，則為對(duì)數(shù)凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)有對(duì)數(shù)凸函數(shù)的例信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn22對(duì)數(shù)凸函數(shù)和凹函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)：對(duì)數(shù)凸性與凹性對(duì)函數(shù)乘積和正數(shù)數(shù)乘運(yùn)算均保持封閉。定理：函數(shù)二階可微，則為對(duì)數(shù)凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)性質(zhì)：對(duì)數(shù)凸性對(duì)函數(shù)加運(yùn)算保持封閉。但對(duì)數(shù)凹性對(duì)函數(shù)加運(yùn)算不封閉。推論：函數(shù)對(duì)每一個(gè)在上對(duì)數(shù)凸，則函數(shù)也是對(duì)數(shù)凸函數(shù)。信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn23對(duì)數(shù)凸函數(shù)和凹函數(shù)的性質(zhì)定理：函數(shù)為對(duì)數(shù)凹函數(shù)，則函數(shù)是對(duì)數(shù)凹函數(shù)

8、。信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@bupt.edu.cn24廣義不等式下的凸性廣義單調(diào)性的定義：設(shè)為真錐，函數(shù)稱為單調(diào)增，若函數(shù)滿足：廣義凸函數(shù)的定義：設(shè)為真錐，函數(shù)稱為凸，若函數(shù)滿足對(duì)均有定理(對(duì)偶等價(jià))：函數(shù)為凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有，