2005年江蘇高中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題及答案

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1、我愛奧賽網(wǎng)www.52aosai.com：免費(fèi)競賽試題下載交流2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1.評閱試卷時,請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn).選擇題、填空題只設(shè)6分和0分兩檔.其他各題的評閱,請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分,不要再增加其他中間檔次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步驟正確,在評卷時可參照本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分評分檔次,3分為一個檔次,不要再增加其他中間檔次.一．選擇題(本題滿分36分,每小題6分)1.函數(shù)的圖像按向量平移后,得到的圖像的解析式為.那么的解析式為A.B.C.D.答:[B]解：,即.故選B．2.

2、如果二次方程N(yùn)*)的正根小于3,那么這樣的二次方程有A.5個B.6個C.7個D.8個答:[C]解：由,知方程的根為一正一負(fù)．設(shè)，則,即.由于N*，所以或.于是共有7組符合題意．故選C．3.設(shè),那么的最小值是A.2B.3C.4D.5答:[C]解：由,可知,所以，.故選C．8我愛奧賽網(wǎng)www.52aosai.com：免費(fèi)競賽試題下載交流4.設(shè)四棱錐的底面不是平行四邊形,用平面去截此四棱錐,使得截面四邊形是平行四邊形,則這樣的平面A.不存在B.只有1個C.恰有4個D.有無數(shù)多個答:[D]解：設(shè)四棱錐的兩組不相鄰的側(cè)面的交線為、,直線、確定了一個平面.作與平行的平面,與四

3、棱錐的各個側(cè)面相截，則截得的四邊形必為平行四邊形．而這樣的平面有無數(shù)多個．故選D．5.設(shè)數(shù)列:,N*,則被64除的余數(shù)為A.0B.2C.16D.48答:[C]解：數(shù)列模64周期地為2，16，－2，－16，…….又2005被4除余1,故選C．6.一條走廊寬2m,長8m,用6種顏色的11m的整塊地磚來鋪設(shè)(每塊地磚都是單色的,每種顏色的地磚都足夠多),要求相鄰的兩塊地磚顏色不同,那么所有的不同拼色方法有A.個B.個C.個D.個答:[D]解：鋪第一列(兩塊地磚)有種方法；其次鋪第二列．設(shè)第一列的兩格鋪了、兩色(如圖)，那么，第二列的上格不能鋪色．若鋪色，則有種鋪法；若不

4、鋪色，則有種方法.于是第二列上共有種鋪法.同理，若前一列鋪好，則其后一列都有種鋪法．因此，共有種鋪法．故選D．二．填空題(本題滿分36分,每小題6分)7.設(shè)向量繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得向量,且,則向量（－，）.8我愛奧賽網(wǎng)www.52aosai.com：免費(fèi)競賽試題下載交流解：設(shè),則,所以.即解得因此，.故填．8.設(shè)無窮數(shù)列的各項都是正數(shù),是它的前項之和,對于任意正整數(shù),與2的等差中項等于與2的等比中項,則該數(shù)列的通項公式為an=4n－2(n∈N*).解：由題意知，即.………①由得,從而.又由①式得,………②于是有,整理得.因,故．所以數(shù)列是以為首項、為公差的等差數(shù)列，其

5、通項公式為，即.故填N*)．9.函數(shù)R)的最小值是.解：令，則．當(dāng)時，，得；當(dāng)時，，得．8我愛奧賽網(wǎng)www.52aosai.com：免費(fèi)競賽試題下載交流又可取到,故填．10.在長方體中,,點、、分別是棱、與的中點,那么四面體的體積是V=.解：在的延長線上取一點，使.易證，，平面．故．而，G到平面的距離為．故填．11.由三個數(shù)字、、組成的位數(shù)中,、、都至少出現(xiàn)次,這樣的位數(shù)共有150個.解：在位數(shù)中,若只出現(xiàn)次，有個；若只出現(xiàn)次，有個；若只出現(xiàn)次，有個．則這樣的五位數(shù)共有個．故填個．12.已知平面上兩個點集R},R}.若,則的取值范圍是[1－，3+]．解：由題意知是

6、以原點為焦點、直線為準(zhǔn)線的拋物線上及其凹口內(nèi)側(cè)的點集，是以為中心的正方形及其內(nèi)部的點集(如圖)．考察時,的取值范圍:令,代入方程,得，解出得．所以，當(dāng)時,．…………③8我愛奧賽網(wǎng)www.52aosai.com：免費(fèi)競賽試題下載交流令，代入方程,得.解出得．所以，當(dāng)時,．…………④因此,綜合③與④可知，當(dāng)，即時,．故填.三．解答題(第一題、第二題各15分；第三題、第四題各24分)13.已知點是的中線上的一點,直線交邊于點,且是的外接圓的切線,設(shè),試求(用表示).證明：在中，由Menelaus定理得．因為，所以．………………6分由，知∽，則．所以，，即．…………………

7、…12分因此，．又，故．……………………15分14.求所有使得下列命題成立的正整數(shù):對于任意實數(shù),當(dāng)時,總有(其中).解：當(dāng)時，由，得．所以時命題成立.……………………3分8我愛奧賽網(wǎng)www.52aosai.com：免費(fèi)競賽試題下載交流當(dāng)時，由，得.所以時命題成立.…………………6分當(dāng)時，由，得．所以時命題成立．………………9分當(dāng)時，令，，,則.但是,，故對于命題不成立．綜上可知，使命題成立的自然數(shù)是.……………15分15.設(shè)橢圓的方程為,線段是過左焦點且不與軸垂直的焦點弦.若在左準(zhǔn)線上存在點,使為正三角形,求橢圓的離心率Q＇的取值范圍,并用表示直線的斜率.解：如

8、圖,設(shè)線段