弧度制和其應(yīng)用

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1、http://www.mathschina.com彰顯數(shù)學(xué)魅力！演繹網(wǎng)站傳奇！弧度制及其應(yīng)用山東劉乃東一、要點(diǎn)梳理1．弧度制長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度記做，讀作弧度。2．弧度數(shù)一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0。如果半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，那么，角的弧度數(shù)的絕對值是，這里，的正負(fù)由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定。3．角度與弧度之間的轉(zhuǎn)化（1）將角度化為弧度；。（2）將弧度化為角度；；

2、1。注意：“弧度制”與“角度制”是度量角的兩種制度。引進(jìn)了弧度制，使得每一個角都對應(yīng)一個實(shí)數(shù)（即這個角的弧度數(shù)），反過來每一個實(shí)數(shù)都對應(yīng)一個弧度數(shù)（角的弧度數(shù)等于這個實(shí)數(shù)），從而角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系。因此角的幾何表示可以在坐標(biāo)系中以終邊位置描述，也可以用數(shù)軸上的點(diǎn)描述（即其弧度數(shù)對應(yīng)實(shí)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)）。3．弧長公式和扇形面積公式（1）在弧度制下，弧長公式和扇形面積公式分別為。（2）在角度制下，弧長公式和扇形面積公式分別為學(xué)數(shù)學(xué)用專頁第3頁共3頁搜資源上網(wǎng)站http://www.mat

3、hschina.com彰顯數(shù)學(xué)魅力！演繹網(wǎng)站傳奇！。注意：①用公式求圓心角時，應(yīng)注意其結(jié)果是圓心角的弧度數(shù)的絕對值，具體應(yīng)用時，既要注意其大小，又要注意其正負(fù)；②使用弧度制下的弧長公式、扇形面積公式有諸多優(yōu)越性，但是如果已知的角是以“度”為單位，則必須先把它化成弧度后再計算，這樣可避免計算過程或結(jié)果出錯。二、范例剖析例1將表示成，的形式，且。分析：在書寫角時，“弧度”兩個字常省略不寫，但用“角度”表示時，“度”或“0”不能省略。解析：∵，又，∴。評注：要記住，如果能記住特殊角，可直接寫出結(jié)果。例2已

4、知，且與終邊相同，求。分析：利用終邊相同的角先表示出與的關(guān)系，然后求解。解析：由已知有，，∴，∴?！?，∴當(dāng)、2、3、4、5時，、、、、為所求。評注：在一定的約束條件下，求與角終邊相同的角，一般地，首先將這樣的角表示為的形式，然后在約束條件下確定值，進(jìn)而求適合條件的角。例3已知扇形的圓心角為，半徑長為6。（1）求的弧長；（2）求弓形的面積。分析：將圓心角學(xué)數(shù)學(xué)用專頁第3頁共3頁搜資源上網(wǎng)站http://www.mathschina.com彰顯數(shù)學(xué)魅力！演繹網(wǎng)站傳奇！用弧度表示，然后利用弧長公式、扇形面

5、積公式、三角形面積公式可得解。解析：（1）∵，∴的弧長為。（2）∵，，∴。評注：記準(zhǔn)、記熟弧長公式和扇形面積公式是解決該類問題的關(guān)鍵。三、知能展示1．若四邊形的四個內(nèi)角之比分別為1：3：5：6，則這四個內(nèi)角的弧度數(shù)依次為；2．在1點(diǎn)15分時，時針與分針?biāo)傻淖钚≌鞘嵌嗌倩《龋?．已知一扇形的圓心角為，半徑等于，求扇形的面積；4．已知一扇形的周長為，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？5．用長的鐵絲圍成一個扇形，應(yīng)怎樣設(shè)計，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？參考答

6、案：1．，，，；2．；3．4．半徑時，扇形的面積最大，最大值為，此時圓心角為。5．當(dāng)扇形半徑為，扇形的圓心角為2弧度時，扇形的面積最大，最大面積為。學(xué)數(shù)學(xué)用專頁第3頁共3頁搜資源上網(wǎng)站