取現(xiàn)拐點(diǎn)自動(dòng)確立

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1、曲線拐點(diǎn)的自動(dòng)確定摘要：對(duì)于由離散點(diǎn)表示的數(shù)字地圖與圖形數(shù)據(jù)，本文首先利用兩相鄰矢量叉積乘積的原理來(lái)判定拐點(diǎn)所在的折線邊；然后利用曲線光滑原理，在已確定的折線邊的兩個(gè)端點(diǎn)之間，建立一條光滑加密了的S形曲線，把后者看作是原始折線的精確曲線，對(duì)它進(jìn)行曲線段凹向改變點(diǎn)（拐點(diǎn)）的定位計(jì)算。對(duì)于離散數(shù)據(jù)，多次應(yīng)用矢量叉積乘積的原理，求出最或然拐點(diǎn)，并看作是理論拐點(diǎn)。為了簡(jiǎn)化計(jì)算量，探討了如何避免為求拐點(diǎn)而進(jìn)行光滑加密的輔助計(jì)算過(guò)程。對(duì)此，研究分析了拐點(diǎn)在折線邊上的移動(dòng)規(guī)律與其前后的曲線轉(zhuǎn)角之間的相關(guān)關(guān)系，借此可直接根據(jù)原始離散數(shù)據(jù)作簡(jiǎn)單計(jì)算

2、，在足夠精確的程度上得出拐點(diǎn)的位置。關(guān)鍵詞：拐點(diǎn)；彎曲；曲折系數(shù)；矢量叉積曲線的彎曲可看作是線狀物體的子物體。在常規(guī)作業(yè)中，地圖工作者識(shí)別各個(gè)彎曲不存在任何問(wèn)題。而在計(jì)算機(jī)環(huán)境下，為了能使計(jì)算機(jī)自動(dòng)識(shí)別曲線的各個(gè)彎曲，需要對(duì)彎曲作出數(shù)學(xué)形式化定義。一、拐點(diǎn)的定義曲率最小點(diǎn)（零曲率點(diǎn)）即拐點(diǎn)，它是曲線凹向的變化（凸凹交替）點(diǎn)，是圖形數(shù)學(xué)彎曲的分界點(diǎn)。拐點(diǎn)的連線就構(gòu)成彎曲的底線，不同層次的拐點(diǎn)連線反映著線狀物體不同級(jí)別的趨勢(shì)走向。然而，拐點(diǎn)信息在數(shù)據(jù)獲取中難以精確定位，通常也不像對(duì)待其他特征點(diǎn)那樣給以特別的考慮，且在數(shù)據(jù)庫(kù)管理中也未予

3、以顯式標(biāo)示，即在原始數(shù)據(jù)中往往沒(méi)有明確包含曲線的拐點(diǎn)信息。因此，在必要的情況下，只能通過(guò)計(jì)算來(lái)確定。拐點(diǎn)又叫做扭轉(zhuǎn)點(diǎn)，即在其前后存在的一個(gè)鄰域內(nèi)，使得其前后曲線段的凸凹特性相反?；蛘哒f(shuō)，過(guò)拐點(diǎn)的切線把鄰域內(nèi)的曲線分成兩部分，后者位于此切線的異側(cè)。在數(shù)字環(huán)境下，曲線不是由顯式數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)表示，而是由離散坐標(biāo)點(diǎn)來(lái)表示。此時(shí)，拐點(diǎn)的確定可分為兩個(gè)子過(guò)程來(lái)進(jìn)行：在原始數(shù)據(jù)的哪兩點(diǎn)之間或曲線圖形的哪一條邊的區(qū)間存在拐點(diǎn)；拐點(diǎn)在該區(qū)間的何處。二、拐點(diǎn)存在區(qū)間的判別由于兩個(gè)不共線矢量的叉積可決定所成轉(zhuǎn)角的凸凹特征，故對(duì)于拐點(diǎn)存在區(qū)間的判別，可通過(guò)

4、對(duì)每相鄰4點(diǎn)（A，B，C，D）（其中每相鄰三點(diǎn)不共線）進(jìn)行測(cè)試來(lái)實(shí)現(xiàn)。在下圖中A、D點(diǎn)是否位于B、C點(diǎn)連線的異側(cè)。由這4個(gè)有序點(diǎn)可形成3個(gè)有序矢量（AB，BC，CD），這3個(gè)有序矢量可形成兩個(gè)有序的矢量叉積。拐點(diǎn)存在的充要條件就是曲線凹向改變，即（ＡＢ×ＢＣ）×（ＢＣ×ＣＤ）＜０（1）（圖拐點(diǎn)存在的折線段BC的判別）　　作連續(xù)兩個(gè)相鄰矢量叉積（曲率或凹向的標(biāo)志數(shù)）a×b和b×c乘積，當(dāng)（ＡＢ×ＢＣ）×（ＢＣ×ＣＤ）＜０，則存在拐點(diǎn)，，這個(gè)拐點(diǎn)就在兩個(gè)矢量叉積的中間共享邊BC區(qū)間某處。如果拐點(diǎn)所在邊的長(zhǎng)度很短，則可取其中點(diǎn)為所需拐點(diǎn)

5、，這時(shí)可直接進(jìn)入下一個(gè)拐點(diǎn)的確定。否則，需要進(jìn)行離散點(diǎn)曲線拐點(diǎn)位置的確定。三、離散點(diǎn)曲線拐點(diǎn)位置的確定此處研究的是拐點(diǎn)在其存在邊BC區(qū)間的定位。在進(jìn)行拐點(diǎn)在其存在邊BC區(qū)間的定位之前，先得做一些準(zhǔn)備工作——高精度S形光滑曲線的生成。①高精度S形光滑曲線的生成為了使所求的拐點(diǎn)位置盡可能精確，需要有十分精確的曲線數(shù)據(jù)。數(shù)字化時(shí)是在精度范圍內(nèi)“以直代曲”，此處借助曲線光滑來(lái)實(shí)施“將直復(fù)曲”，以獲取所需的更為精確的數(shù)據(jù)。用“斜軸拋物線光滑插值”【1】來(lái)表述拐點(diǎn)位置，進(jìn)而確定拐點(diǎn)的位置與其前后相關(guān)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的關(guān)系，以便利用此關(guān)系繞過(guò)光滑插值

6、直接按原始數(shù)據(jù)解算拐點(diǎn)。斜軸拋物線光滑插值生成高精度S形光滑曲線的基本原理可通過(guò)與正軸拋物線光滑插值作比較來(lái)說(shuō)明(圖2)。對(duì)于x值單調(diào)的非共線3個(gè)原始數(shù)據(jù)(節(jié))點(diǎn)A、B、C。用拉格朗日差值多項(xiàng)式建立的正軸拋物線圖形為曲線段ABDC。此時(shí)的最大曲率點(diǎn)位于D點(diǎn)，而D點(diǎn)并不是給定的已知的原始數(shù)據(jù)點(diǎn)。若借助坐標(biāo)平移使拋物線的頂點(diǎn)位于中間點(diǎn)B。并通過(guò)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)使拋物線同時(shí)通過(guò)A、C。這樣的拋物線是一個(gè)局部坐標(biāo)系中的斜軸拋物線，只是其坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)角是個(gè)待定值．它可通過(guò)已知3點(diǎn)來(lái)解出[1]。過(guò)已知三點(diǎn)A、B、C的斜軸拋物線圖形(路徑)為曲線段ABC

7、。這兩種拋物線之間的差異是顯然的。如果騎自行車(chē)通過(guò)給定的A、B、C三點(diǎn)，其路徑顯然是近似于曲線ABC而不是ABDC。由此可見(jiàn)，路徑問(wèn)題是一個(gè)與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的問(wèn)題，斜軸拋物線是一條與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的路徑曲線。（圖過(guò)A，B，C三點(diǎn)的斜軸拋物線ABC與正軸拋物線ABDC的區(qū)別）當(dāng)x值不滿足單調(diào)條件時(shí)，對(duì)于正軸拋物線來(lái)說(shuō)，在出現(xiàn)多值函數(shù)的情況下．不能用正軸拋物線進(jìn)行插值。而在斜軸條件下，無(wú)任何限制。②拐點(diǎn)在其存在邊BC區(qū)間的定位如前所述，拐點(diǎn)的位置是在前后兩個(gè)相鄰的凹向相反的地方。拐點(diǎn)的位置由曲線光滑方法所限定，而光滑方法卻有多種。因此，借助不

8、同的光滑方法會(huì)得出不同的拐點(diǎn)?？梢赃@樣說(shuō)．對(duì)于離散數(shù)據(jù)點(diǎn)曲線沒(méi)有惟一的精確拐點(diǎn)存在．從而可用盡可能簡(jiǎn)單的方法來(lái)得到科學(xué)合理的拐點(diǎn)。為此，先通過(guò)圖3所示的特殊對(duì)稱(chēng)情況(αB=αC)來(lái)說(shuō)明拐點(diǎn)的計(jì)算問(wèn)題。筆者在此仍采用計(jì)算表達(dá)凸凹特性的矢量叉積乘積法來(lái)