函數(shù)和方程的思想方法

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1、........................................................................函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的。笛卡爾的方程思想是：實際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題。宇宙世界，充

2、斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實現(xiàn)的……等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。而函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)y＝f(x)，就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)－y＝0?？梢哉f，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時需要重點考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造

3、函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。函數(shù)知識涉及的知識點多、面廣，在概

4、念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點加以分析；含有多個變量的數(shù)學(xué)問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識解答；等差、等比數(shù)列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1.方程lgx＋x＝3的解所在的區(qū)間為_____。A.(0,1)B.

5、(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)2.如果函數(shù)f(x)＝x＋bx＋c對于任意實數(shù)t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。A.f(2)

6、....................................................................5.已知等差數(shù)列的前n項和為S，且S＝S(p≠q，p、q∈N)，則S＝_________。6.關(guān)于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有實根，則實數(shù)a的取值范圍是__________。7.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°，則此棱錐的側(cè)面積為___________。8.建造一個容積為8m，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，則水池的

7、最低造價為___________?！竞喗狻?小題：圖像法解方程，也可代入各區(qū)間的一個數(shù)（特值法或代入法），選C；2小題：函數(shù)f(x)的對稱軸為2，結(jié)合其單調(diào)性，選A；3小題：從反面考慮，注意應(yīng)用特例，選B；4小題：設(shè)tg＝x(x>0），則＋＝，解出x＝2，再用萬能公式，選A；5小題：利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)S＝S＝m，＝x，則（,p）、(,q)、(x，p+q)在同一直線上，由兩點斜率相等解得x＝0，則答案：0；6小題：設(shè)cosx＝t，t∈[-1,1]，則a＝t－t－1∈[－,1]，所以答案：[－,1]；7小題：設(shè)高h

8、，由體積解出h＝2，答案：24；8小題：設(shè)長x，則寬，造價y＝4×120＋4x×80＋×80≥1760，答案：1760。Ⅱ、示范性題組：例1.設(shè)a>0，a≠1，試求方程log(x－ak)＝log(x－a)有實數(shù)解的k的范圍。(89年全國高考)【分析】由換底公式進行換底后出現(xiàn)同底，再進行等價轉(zhuǎn)化為方程組，分離參數(shù)后分析式子特點，從而