概率統(tǒng)計-習題和答案 (4)

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1、習題四4.1一袋中有5只乒乓球，編號為1，2，3，4，5?，F(xiàn)從中任取3只乒乓球，求取出的3只乒乓球的最大編號的數(shù)學期望。4.2設連續(xù)型隨機變量的概率密度為且已知，求常數(shù)。4.3設隨機變量的概率分布為求：（1）；（2）；（3）。4.4某工廠生產(chǎn)的一種產(chǎn)品，其壽命（以年為單位）服從指數(shù)分布。工廠規(guī)定售出產(chǎn)品在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換。已知售出一個產(chǎn)品若在一年內(nèi)不損壞，工廠可獲利100元，若在一年內(nèi)損壞，調(diào)換一個產(chǎn)品，工廠凈損失300元。試求該廠售出一個產(chǎn)品平均可獲利多少元？4.5對球的直徑進行測量，設其值服從上的均勻分布，求球體積的均值。4.6假定公共汽車站于每小時

2、的10分，30分，55分發(fā)車，某乘客不知發(fā)車時間，在每小時內(nèi)任一時刻到達車站是隨機的，求乘客到車站等車時間的數(shù)學期望。4.7某廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品，這種產(chǎn)品每月的市場需求量（單位：噸）服從[0，5]上的均勻分布。這種產(chǎn)品生產(chǎn)出來后，在市場上每售出1噸可獲利6萬元。如果產(chǎn)量大于需求量，則每多生產(chǎn)1噸要虧損4萬元。如果產(chǎn)量小于需求量，則不虧損，但只有生產(chǎn)出來的那一部分產(chǎn)品能獲利。問：（1）如果已知這種產(chǎn)品的月產(chǎn)量為噸（），該廠平均每月利潤是多少元？（2）為了使每月的平均利潤達到最大，這種產(chǎn)品的月產(chǎn)量應該定為多少噸？4.8有2個獨立工作的電子裝置，它們的壽命（）都

3、服從指數(shù)分布。（1）將2個電子裝置串聯(lián)組成整機，其中一個裝置損壞時，則整機不能工作，求整機壽命的數(shù)學期望；１２（2）將2個電子裝置并聯(lián)組成整機，只有當全部裝置損壞時，整機才不能工作，求整機壽命的數(shù)學期望。4.9已知隨機變量的數(shù)學期望，方差。求：（1）；（2）。4.10某人用一串形狀相似的把鑰匙去開門，只有一把能打開門，今逐個任取一把試開，求打開此門需開門次數(shù)的數(shù)學期望和方差。假定（1）打開的鑰匙不放回；（2）打開的鑰匙仍放回。4.11已知隨機變量的概率密度為，求，，，。4.12已知連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為求：（1）常數(shù)；（2），。4.13已知隨機變量的概

4、率密度為（1）用切比雪夫不等式估計的值；（2）求的精確值。4.14某廠生產(chǎn)的顯象管的壽命（單位：小時）服從正態(tài)分布，已知的數(shù)學期望為5000小時，且，求。4.15某人乘車到學校的途中遇到3個交通崗，假定在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且其概率都是，設為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機變量的數(shù)學期望和方差。4.16已知隨機變量服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求及的值。１２4.17設隨機變量服從區(qū)間上的均勻分布，求的三階、四階原點矩。4.18已知二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為。求，，。4.19一民航大客車載有20名乘客自機場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達一個

5、車站沒有旅客下車就不停車，以表示停車次數(shù)，假設每位旅客在各站下車是等可能的，且各旅客是否下車是相互獨立的，求大客車平均停車的次數(shù)。4.20已知，，求。4.21已知，，，求，。4.22已知二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為（1）求，，；（2）與相互獨立嗎？與相關嗎？4.23已知二維隨機變量的聯(lián)合概率分布為X（1）求，，，的值；（2）與相互獨立嗎？與相關嗎？習題四１２4.1設為取出球的最大編號，在習題2.2（1）中已經(jīng)求得的概率分布為所以。4.2由概率密度的性質可知，又因為，即。聯(lián)立兩式，解得，。4.3（1）；（2）；（3）。4.4解法一設為該廠售出一個產(chǎn)品的獲利。

6、因為～，所以的概率密度為?！?。１２解法二設為該廠售出一個產(chǎn)品的獲利。，，的概率分布為所以≈。4.5因為球直徑～，概率密度，球體積，所以球體積的平均值即的數(shù)學期望為。4.6因為乘客到站時刻～，其密度，乘客等車時間。所以（分），即10分25秒。１２4.7（1）因為～，的概率密度為。設為該廠每月獲得的利潤（單位：萬元），根據(jù)題意。該廠平均每月利潤為。（2）由可解得（噸）。可見，要使得每月的平均利潤達到最大，這種產(chǎn)品的月產(chǎn)量應該定為噸。4.8因為～，的分布函數(shù)為（）。（1）串聯(lián)組成整機時，整機壽命，的分布函數(shù)為，的概率密度為，由此可見，～，服從參數(shù)為的指數(shù)分布，所

7、以。（2）并聯(lián)組成整機時，整機壽命，的分布函數(shù)為，的概率密度為，１２。4.9（1）因為，所以。（2）。4.10（1）設想將把鑰匙按照試開的次序排成一列，開門次數(shù)，也就是那把能開門的鑰匙恰好落在第個位置上，這一事件的概率為（因為不論哪一次打開的可能性都是一樣的），所以，的概率分布為（）。，，。（2）這時～，的概率分布為（）。，。4.11，，，，。4.12（1）因為是一個連續(xù)型隨機變量，所以在和處左連續(xù)，即有１２，。解方程組，得。的分布函數(shù)為。的概率密度為。（2）因為奇函數(shù)在對稱區(qū)間上積分為0，所以。在下列積分中令，，則有。。4.13，，。（1）用切比雪夫不等

8、式作近似估計，有；（2）用積分式作精確計算，則有。１２4.14因為