第12講 空間中夾角和距離

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1、世紀(jì)金榜圓您夢想www.jb1000.com第十二講空間中的夾角和距離一、復(fù)習(xí)目標(biāo)要求1．掌握兩條直線所成的角和距離的概念及等角定理；（對于異面直線的距離，只要求會計(jì)算已給出公垂線時的距離）。2．掌握點(diǎn)、直線到平面的距離，直線和平面所成的角；3．掌握平行平面間的距離，會求二面角及其平面角；二、2010年命題預(yù)測高考立體幾何試題一般共有4道(選擇、填空題3道,解答題1道),共計(jì)總分27分左右,考查的知識點(diǎn)在20個以內(nèi)。隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施,立體幾何考題正朝著“多一點(diǎn)思考,少一點(diǎn)計(jì)算”的發(fā)展，從歷年的考題變化看,以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面

2、位置關(guān)系的論證，角與距離的探求是?？汲Ｐ碌臒衢T話題。預(yù)測2010年高考試題：（1）單獨(dú)求夾角和距離的題目多為選擇題、填空題，分值大約5分左右；解答題中的分步設(shè)問中一定有求夾角、距離的問題，分值為6分左右；（2）選擇、填空題考核立幾中的計(jì)算型問題,而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題,當(dāng)然,二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提。三、知識精點(diǎn)講解1．距離空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點(diǎn)點(diǎn)距，點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距。其中重點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距以及兩異面直線間的距離．因此，掌握點(diǎn)、線、面之間距離的概念，理解距離的垂

3、直性和最近性，理解距離都指相應(yīng)線段的長度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重要的。求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點(diǎn)到這個平面的距離。（1）兩條異面直線的距離兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離；求法：如果知道兩條異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長度。（2）點(diǎn)到平面的距離平面外一點(diǎn)P在該平面上的射影為P′，則線段PP′的長度就是點(diǎn)到平面的距離；求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。

4、等體積法。（3）直線與平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離；（4）平行平面間的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離。求距離的一般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動”的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距或點(diǎn)面距求之，其一般步驟是：①找出或作出表示有關(guān)距離的線段；②證明它符合定義；③歸到解某個三角形．若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計(jì)算求之。異面直線上兩點(diǎn)間距離公式，如果兩條異面直線a、b所成的角為q，它們的公垂線AA′的長度為d，

5、在a上有線段A′E＝m，b上有線段AF＝n，那么EF＝（“±”符號由實(shí)際情況選定）2．夾角第9頁（共9頁）___________________________________________________________山東世紀(jì)金榜書業(yè)有限公司世紀(jì)金榜圓您夢想www.jb1000.com空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為0°，90°、[0°，90°]和[0°，180°]。（1）兩條異面直線所成的角求法：先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角

6、，然后通過解三角形去求得；通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。（2）直線和平面所成的角求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”。（3）二面角的度量是通過其平面角來實(shí)現(xiàn)的解決二面角的問題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的關(guān)鍵。通常的作法有：（Ⅰ）定義法；（Ⅱ）利用三垂線定理或逆定理；（Ⅲ）自空間一點(diǎn)作棱垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成

7、的角，俗稱垂面法．此外，當(dāng)作二面角的平面角有困難時，可用射影面積法解之，cosq＝，其中S為斜面面積，S′為射影面積，q為斜面與射影面所成的二面角。3．等角定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。四．典例解析題型1：直線間的距離問題例1．已知正方體的棱長為1，求直線DA'與AC的距離。解法1：如圖1連結(jié)A'C'，則AC∥面A'C'D'，連結(jié)DA'、DC'、DO'，過O作OE⊥DO'于E因?yàn)锳'C'⊥面BB'D'D，所以A

8、'C'⊥OE。又O'D⊥OE，所以O(shè)E⊥面A'C'D。因此OE為直線DA'與AC的距離。在Rt△OO'D中，，可求得點(diǎn)評：此題是異面直線的距離問題：可