空間中夾角和距離

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1、空間中的夾角和距離要點(diǎn)1．距離空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點(diǎn)點(diǎn)距，點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距。其中重點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距以及兩異面直線間的距離．因此，掌握點(diǎn)、線、面之間距離的概念，理解距離的垂直性和最近性，理解距離都指相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重要的。求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。（1）兩條異面直線的距離兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直

2、線間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離；求法：如果知道兩條異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長(zhǎng)度。（2）點(diǎn)到平面的距離平面外一點(diǎn)P在該平面上的射影為P′，則線段PP′的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離；求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。等體積法。（3）直線與平面的距離：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離；（4）平行平面間的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩個(gè)平行平面的距離。求距離的一般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動(dòng)”的思想方法，把所求的

3、距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距或點(diǎn)面距求之，其一般步驟是：①找出或作出表示有關(guān)距離的線段；②證明它符合定義；③歸到解某個(gè)三角形．若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計(jì)算求之。異面直線上兩點(diǎn)間距離公式，如果兩條異面直線a、b所成的角為q，它們的公垂線AA′的長(zhǎng)度為d，在a上有線段A′E＝m，b上有線段AF＝n，那么EF＝（“±”符號(hào)由實(shí)際情況選定）2．夾角空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為0°，90°、[0°，90°]和[0°，180°]。（1）

4、兩條異面直線所成的角求法：先通過(guò)其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形去求得；通過(guò)兩條異面直線的方向量所成的角來(lái)求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。（2）直線和平面所成的角求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”。（3）二面角的度量是通過(guò)其平面角來(lái)實(shí)現(xiàn)的解決二面角的問(wèn)題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的關(guān)鍵。通

5、常的作法有：（Ⅰ）定義法；（Ⅱ）利用三垂線定理或逆定理；（Ⅲ）自空間一點(diǎn)作棱垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成的角，俗稱垂面法．此外，當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí)，可用射影面積法解之，cosq＝，其中S為斜面面積，S′為射影面積，q為斜面與射影面所成的二面角。3．等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。典例題型1：直線間的距離問(wèn)題例1．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，求直線DA'與AC的距離。解法1：如圖1連

6、結(jié)A'C'，則AC∥面A'C'D'，連結(jié)DA'、DC'、DO'，過(guò)O作OE⊥DO'于E因?yàn)锳'C'⊥面BB'D'D，所以A'C'⊥OE。又O'D⊥OE，所以O(shè)E⊥面A'C'D。因此OE為直線DA'與AC的距離。在Rt△OO'D中，，可求得點(diǎn)評(píng)：此題是異面直線的距離問(wèn)題：可作出異面直線的公垂線。圖2解法2：如圖2連接A'C'、DC'、B'C、AB'A'，得到分別包含DA'和AC的兩個(gè)平面A'C'D和平面AB'C，又因?yàn)锳'C'∥AC，A'D∥B'C，所以面A'C'D∥面AB'C。故DA'與AC的距離就是平面A'C'D和平面AB

7、'C的距離，連BD'分別交兩平面于兩點(diǎn)，易證是兩平行平面距離。不難算出，所以，所以異面直線BD與之間的距離為。題型2：線線夾角例2．如圖1，在三棱錐S—ABC中，，，，，求異面直線SC與AB所成角的余弦值。圖1解法1：用公式當(dāng)直線平面，AB與所成的角為，l是內(nèi)的一條直線，l與AB在內(nèi)的射影所成的角為，則異面直線l與AB所成的角滿足。以此為據(jù)求解。由題意，知平面ABC，，由三垂線定理，知，所以平面SAC。因?yàn)?，由勾股定理，得。在中，，在中，。設(shè)SC與AB所成角為，則，解法2：平移過(guò)點(diǎn)C作CD//BA，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交CD

8、于D，連結(jié)SD，則是異面直線SC與AB所成的角，如圖2。又四邊形ABCD是平行四邊形。由勾股定理，得：。圖2在中，由余弦定理，得：。題型3：點(diǎn)線距離例3．（2002京皖春，15）正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)，將正方形沿EF折成直二面角（如圖所示）.M為矩形AEFD