概率論：條件分布

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1、一、離散型隨機(jī)變量的條件分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布三、小結(jié)第三節(jié)條件分布在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機(jī)變量設(shè)有兩個(gè)r.vX,Y，在給定Y取某個(gè)或某些值的條件下，求X的概率分布.這個(gè)分布就是條件分布.例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機(jī)抽取一個(gè)學(xué)生，分別以X和Y表示其體重和身高.則X和Y都是隨機(jī)變量，它們都有一定的概率分布.體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布現(xiàn)在若限制1.7

2、出來，然后在挑出的學(xué)生中求其體重的分布.容易想象，這個(gè)分布與不加這個(gè)條件時(shí)的分布會很不一樣.例如，在條件分布中體重取大值的概率會顯著增加.一、離散型隨機(jī)變量的條件分布實(shí)際上是第一章講過的條件概率概念在另一種形式下的重復(fù).定義1設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對于固定的j，若P{Y=yj}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.P{X=xi

3、Y=yj}=，i=1,2,…作為條件的那個(gè)r.v,認(rèn)為取值是給定的，在此條件下求另一r.v的概率分布.為在條件下Y的條件分布律。對于固定的i，當(dāng)時(shí)，稱條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì).正如

4、條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì).例如：i=1,2,…例1設(shè)r.v.X與Y的聯(lián)合分布律為求在Y=1條件下X的條件分布律.〖解〗先求邊緣分布律,見上表“邊緣”.再求條件分布律：顯然，條件分布律也滿足分布律的性質(zhì)。例2一射手進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)的概率為p(0

5、直接用條件概率公式得到條件分布，為此我們直接給出條件分布的定義。設(shè)的概率密度為考慮在已發(fā)生的條件下發(fā)生的條件概率背景解釋在區(qū)域上具有密度當(dāng)限制在直線上時(shí)可視為一維r.v定義：設(shè)對于任意小的Δx>0，有P{x0若存在,則稱此極限為X=x的條件下Y的條件分布函數(shù)。且有P{Y≤y

6、X=x}或FY

7、X(y

8、x)記作對y求導(dǎo)，得到在條件X=x下Y的條件概率密度類似地，在條件Y=y下，X的條件分布函數(shù)及條件概率密度為解例3r??x-r=邊緣分布不是均勻分布！??y-rr當(dāng)–r

9、常數(shù)，當(dāng)X=x時(shí)，??x解例4三、小結(jié)3.聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布的關(guān)系如下聯(lián)合分布邊緣分布條件分布聯(lián)合分布練習(xí)設(shè)r.v.X與Y的聯(lián)合概率密度為求條件概率密度〖解〗先求邊緣概率密度：再求條件概率密度：當(dāng)時(shí)，練習(xí)已知求解y=x11x+y=11y=x10.5y=x110.5y=x11y=x110.5