康熙皇帝與符號代數(shù)

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1、康熙皇帝與符號代數(shù)歐基里得曾說：“學習幾何學沒有王者之路！”。事實上，學習代數(shù)學亦然，譬如說吧，在中國數(shù)學史上鼎鼎大名的康熙皇帝，就在符號代數(shù)的學習過程中，表現(xiàn)了類似今日國中學生茫然不知所措的模樣，這個歷史經(jīng)驗，實在很值得教學工作者參考與借鏡。這里所指的符號代數(shù)，當然是清初傳教士傳入中國的西方數(shù)學知識。當時有兩種西方代數(shù)傳入中國，第一種被稱作“借根方比例法”，第二種則叫作“阿爾熱巴拉新法”。所謂“阿爾熱巴拉”，無疑是英文“algebra”的音譯，也曾被稱作“阿爾熱巴達”或“阿爾朱巴爾”。其實，這幾個名稱也都曾指涉第一種，譬如在公元1711年，康熙皇帝與直隸巡撫趙宏燮討論數(shù)學時，就指出：算法之

2、理，皆出于‘易經(jīng)’，即西洋算法亦善，原系中國算法，彼稱為“阿爾朱巴爾”者，傳自東方之謂也。來年梅觳成入宮肄業(yè)于暢春園的蒙養(yǎng)齋，負責主編《數(shù)理精蘊》等書，康熙皇帝授以傳教士傳入的代數(shù)學，并且諭示：西洋人名此書為阿爾熱巴達，譯言東來法也。按此書可能是某傳教士所譯的《借根方算法節(jié)要》。至于在該書中不沿襲原名而改稱為“借根方法”，“乃譯書者就其法而質(zhì)言之也。”換句話說，“借根方法”是一種“意譯”！后來奉康熙皇帝指示，梅觳成遂將它編入《數(shù)理精蘊》卷三十二——三十六。然則何以“algebra”是一種“東來法”呢？這就必須追溯這個英文字的語源了。原來“algebra”相當于拉丁文的“al-jabr”，出自

3、阿拉伯數(shù)學家阿爾花拉子模的一本代數(shù)著作的書名，原指“還原”之意，例如將2x+5=5-3x“還原”成5x+5=8.這種代數(shù)不但未涉及符號法則，當然也不曾引進文字系數(shù)；同時，方程式兩端也像天平平衡一樣而不等于零，譬如二次方程就表示成像x+6x=4等等；此外，求解程序也都以文字敘述。后來再由意大利數(shù)學家卡丹全盤接收，因此，對西歐人而言才有“東來法”之說。至于“符號代數(shù)”，則是第二種，亦即“阿爾熱巴拉新法”的主旨，源自法國數(shù)學家維達著作《解析方法入門》的發(fā)明。它的特征除了代數(shù)方程的系數(shù)以文字符號表示、符號可以一如數(shù)目演算之外，方程式任何一端可以置零，譬如ax+bx+c=0；還有，維達也特別強調(diào)代數(shù)是

4、研究像二次方程這種“形式”的學問，而算術(shù)則完全訴諸數(shù)目。有趣的是，當時中國人為了安心學習西算，遂將“東來”解釋成來自中國，于是，梅觳成就以《測圓海鏡》與《數(shù)理精蘊》中例子，來比較“天元術(shù)”與“借根方法”，證明它們“名異而實同”?？上?，中土“不知何故遂失其傳，猶幸遠人慕化，復得故物”，“東來之名”正好表示西人不忘本，如此說來，中國人怎么可以不好好地學習西算呢。這是梅觳成為盛行于明末清初“西學中原說”所下的最佳注腳。如此說來，康熙皇帝不可能對一樣是代數(shù)學的“阿爾熱巴拉新法”沒有興趣。問題是：何以由康熙皇帝主編的《數(shù)理精蘊》只字不提“新法”？最主要的原因之一是：康熙皇帝無法了解符號演算的意義。這當

5、然也可能涉及引進者的數(shù)學素養(yǎng)及其數(shù)學傳統(tǒng)。事實上，《阿爾熱巴拉新法》是法國傳教士傅圣澤為了教導康熙皇帝學習“新代數(shù)”而寫的。一七一一年之后，傅圣澤應召入宮伴讀西方天算。有一天，康熙想知道傅圣澤對代數(shù)的看法，于是，傅圣澤遂趁機介紹“新代數(shù)”，并強調(diào)它比“舊”代數(shù)更簡單而且更具有一般性。其實，在《阿爾熱巴拉新法》卷一第一節(jié)中，傅圣澤即強調(diào)了“新法與舊法之所以異”：或問：阿爾熱巴拉舊法，乃最深遠之法也，何為又有新法，意必舊法猶有未善者與？答曰：舊法未嘗不善，但于通融之處，有所不及也，故又有新法濟之。既然如此，那么二法何以區(qū)別呢？傅圣澤指出：“所以異者，因舊法所用之記號，乃數(shù)目字樣，新法所用之記號，

6、乃可以通融之記號?！彼^“通融記號”，即是指代數(shù)符號，“在中華可以用天干地支二十二字以代之”。為了說明它的便利與巧妙，傅圣澤“試以一式明之。假如有一題，凡兩個數(shù)目字之平方，必包涵四件，乃每字之平方，與兩字相乘之兩長方，今將十二之兩數(shù)目字以發(fā)明其理?！闭垍㈤單覀儚脑摃鶑陀∠聛淼牟鍒D及說明，即可發(fā)現(xiàn)傅圣澤試圖利用幾何意義從=100+2+4來“類推”=a+2ab+b，此二項式被翻譯成=甲甲+二甲乙+乙乙。從教學觀點來看，傅圣澤的解釋可以說是盡心盡力了，不過，對西算造詣頗深的康熙皇帝還是作出如下的反應：諭王道化：朕自起身起身以來，每日同阿哥等察《阿而熱巴拉新法》，最難明白，他說比舊法易，看來比舊法

7、愈難，錯處易甚多，騖突處也不少……還有言者：甲乘甲、乙乘乙，總無數(shù)目，即乘出來亦不知多少，看起來想是此人算法平平耳。在西方數(shù)學史上，符號代數(shù)在十六世紀末被發(fā)明之后，大約花了將近一世紀的時間才逐漸被數(shù)學家廣泛接受。究其原因，這些西方數(shù)學家應該跟康熙皇帝一樣，無法了解符號演算的意義。由此一歷史教訓，我們或可推論：符號代數(shù)的學習需要比較成熟的數(shù)學心智，因為即使天縱英明如康熙也表現(xiàn)得束手無策。所以，我們希望國中教師在