素?cái)?shù)與奇合數(shù) 規(guī)律

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1、哥德巴赫猜想是這樣猜著的愛(ài)新新羅·熙國(guó)維前言歐幾里得約在公元前330～275年提出表達(dá)素（質(zhì)）數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)律，至今2200多年間，人們的努力均未能果。《運(yùn)動(dòng)論》的“數(shù)的全息律”告知我們：數(shù)學(xué)中的無(wú)窮大只是相對(duì)無(wú)窮大，不是絕對(duì)無(wú)窮大，追求絕對(duì)無(wú)窮大的數(shù)是不可能的，也是錯(cuò)誤的。無(wú)窮的概念，實(shí)質(zhì)上就是運(yùn)動(dòng)的概念，當(dāng)然，數(shù)也就在運(yùn)動(dòng)中誕生，首當(dāng)者是無(wú)理數(shù)，整數(shù)只是夾雜在其中的點(diǎn)點(diǎn)滴滴。也是《運(yùn)動(dòng)論》在魯卡斯（Lucas）數(shù)中找到了“新的余數(shù)公式（M）式”，并由它衍生出：rM??/r——（M）1/2??(5?1)/2r—奇數(shù)素?cái)?shù)與奇合

2、數(shù)的諸多規(guī)律。素?cái)?shù)與奇合數(shù)的判別一、除法與篩法1．被除數(shù)b被a數(shù)除，得商數(shù)q，其間的關(guān)系以分?jǐn)?shù)形式表為b?q——(q)a當(dāng)a、b、q都是正整數(shù)時(shí)，稱b可被a整除。此時(shí)形象地把除法關(guān)系比喻作“篩子”，b可被a除，比喻作可被a“篩掉”，得q。2．當(dāng)b不能被a整除時(shí)，有關(guān)系式b?a?q?c——(b)1?c?a，c正整數(shù)即b不能被a整除，或說(shuō)，b無(wú)整數(shù)因子。比喻作b不能被a“篩掉”。3．我們把二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)公式稱為“二項(xiàng)式系數(shù)篩子”：nn(n?1)(n?2)?[n?(K?1)]()??qq正整數(shù)K1?2?3?4?K分母為K個(gè)遞

3、升的階乘數(shù)；分子為K個(gè)遞降的連乘數(shù)；n為二項(xiàng)式的乘方數(shù)（指數(shù)）；K為二項(xiàng)式展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)。4.正整數(shù)N的最小素?cái)?shù)因子不大于N。以小于或等于N的整數(shù)除N，可以很快確知N數(shù)有無(wú)整數(shù)因子。埃拉托色奈斯(Eratosthenes)最早以這種除法建立了素?cái)?shù)“篩子”。二、素?cái)?shù)與合數(shù)定義1．一個(gè)正整數(shù)，只能被1與其自身整除，則該數(shù)為素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）；或者，一個(gè)正整數(shù)只有1與其自身兩個(gè)因子，該數(shù)稱為素?cái)?shù)。2．一個(gè)正整數(shù)，可被1與其自身整除以外，還有其它的正整數(shù)可以整除它，該數(shù)稱為合數(shù)；或者，一個(gè)正整數(shù)致少有四個(gè)或四個(gè)以上數(shù)目的因子，該數(shù)稱為合數(shù)

4、。13．所有的偶數(shù)（2除外）都是合數(shù)，因此實(shí)際上素?cái)?shù)只是指奇數(shù)中的素?cái)?shù)，稱為奇素?cái)?shù)，奇數(shù)中的合數(shù)稱為奇合數(shù)。4．由上可知，奇數(shù)中只有兩種數(shù)：素?cái)?shù)與奇合數(shù)。三、乘法分配律有式m?(a?b?c)?ma?mb?mc或者ma?mb?mc?m?(a?b?c)代數(shù)和的各個(gè)項(xiàng)中有相同因子（m）時(shí)，可以先將各項(xiàng)不同的因子取代數(shù)和運(yùn)算，然后再將和數(shù)與相同的因子（m）進(jìn)行乘法運(yùn)算，其結(jié)果相同，反之亦然。四、二項(xiàng)式的展開(kāi)及其系數(shù)與特殊公式1．二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式nnn0nn?11nn?22nn?KKnn?nn(a?b)?()a?b?()a?b?(

5、)a?b???()a?b???()a?b012KnK?nnn?KK??(K)a?b——∑0K?02．二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)通項(xiàng)式nn(n?1)(n?2)?[n?(K?1)]n()?——()KK01?2?3?4?K（K

6、1?2?3nn(1)n存在于自()到()項(xiàng)中，并為首要因子。1n?12(2)n在每一項(xiàng)中，是經(jīng)過(guò)K！（K的階乘）數(shù)篩選的，這里K！是除數(shù)。(3)隨項(xiàng)數(shù)增加（K增大），n數(shù)必在K！中出現(xiàn)，當(dāng)n為奇合數(shù)時(shí)，必被篩掉；當(dāng)n為素?cái)?shù)時(shí)，必被保留在各項(xiàng)中，滿足素?cái)?shù)或奇合數(shù)定義。3．當(dāng)a=b=1時(shí)，二項(xiàng)式成為二項(xiàng)式系數(shù)和的定理：nn(a?b)?(1?1)nnnnnnn2?()?()?()???()???()——（2）012Kn證明了：nnn二項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和等于2。因?yàn)?)?1，()?1，故0nK?n?1nn2?2??(K)——∑

7、1K?1nn4．二項(xiàng)式展開(kāi)式系數(shù)通式()的遞推關(guān)系決定()永遠(yuǎn)是正整數(shù)。kkn?0因?yàn)椋?.()?1k?0n?1n?12.()?1,()?1k?0k?1?nnn3.()?1,()?1k?0k?n遞推關(guān)系：nn?1n?1()?()?()永遠(yuǎn)是正整數(shù)，此即“楊輝三角”的結(jié)構(gòu)式。kkk?1五、一個(gè)奇數(shù)，如何知道它是素?cái)?shù)還是奇合數(shù)？步驟如下：1．取（∑1）式，并將n用奇數(shù)r表示。2．寫出自K=1到K=r-1諸項(xiàng)的系數(shù)rrr()???r1K1rr(r?1)r(r?1)()??21?22!rr(r?1)(r?2)r(r?1)(r?2)

8、()??31?2?33!3……rr(r?1)(r?2)?[r?(K?1)]()?K1?2?3?4?K3．按（∑1）式將上述求得的各項(xiàng)系數(shù)代入。4．觀察比較所有各項(xiàng)系數(shù)nn(1)只有r數(shù)自()至()項(xiàng)為共有的因子。1n?1(2)當(dāng)r為奇合數(shù)時(shí)，必在某項(xiàng)的分母中有r的因子，r可被篩掉（約掉）。nn(3)當(dāng)r