合數(shù)及素?cái)?shù)分布初等規(guī)律表達(dá)式

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1、合數(shù)與素?cái)?shù)分布初等規(guī)律表達(dá)式郭占祥榆樹市農(nóng)機(jī)監(jiān)理站吉林省榆樹市（130400）E-mail:zgssdl@163.com摘要：本文根據(jù)合數(shù)分布初等規(guī)律找到素?cái)?shù)分布初等規(guī)律表達(dá)式。關(guān)鍵詞：數(shù)論；合數(shù)分布；素?cái)?shù)分布中圖分類號：O156.10引言數(shù)論就是整數(shù)比較論。核心是研究素?cái)?shù)分布。愛臘脫色素余篩法，是由公元前250年古希臘數(shù)學(xué)家愛臘脫色素余（Eratosthenes）所提出的一種簡單檢定素?cái)?shù)的算法。其方法簡單說，若想篩去自然數(shù)列1,2,3,…區(qū)間[1,N]上的合數(shù)，就需分步篩去整數(shù)“2,…,”的x倍合數(shù)。從愛氏篩法至今2262年，人們孤立地去研究素?cái)?shù)本身分

2、布的規(guī)律。一直認(rèn)為素?cái)?shù)分布個(gè)數(shù)不可能用初等數(shù)學(xué)公式表達(dá)。在這里先給出“數(shù)列規(guī)律”定義：是指合數(shù)或素?cái)?shù)分布個(gè)數(shù)f隨著區(qū)間[x]的有序變化量。顯然x是自變量，而f是因變量。區(qū)間[x]的科學(xué)劃分決定f值的精度。德國數(shù)學(xué)家高斯（C.F.Gauss,1777.4.30──1855.2.23），他經(jīng)過大量的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，建議使用.對正實(shí)數(shù)x，定義π（x）為不大于x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。其中l(wèi)nx為x的自然對數(shù)。這個(gè)公式被稱為“素?cái)?shù)核心定理”[1]。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在他的《數(shù)論導(dǎo)引》[2]中說過，自古至今關(guān)于素?cái)?shù)分布的公式都來自于經(jīng)驗(yàn)。顯然“素?cái)?shù)定理”也是經(jīng)驗(yàn)公式或稱猜想。人們

3、曾用（黎曼）猜想證明“素?cái)?shù)定理猜想”。我們應(yīng)當(dāng)清醒地明白：經(jīng)驗(yàn)不是科學(xué)，對數(shù)函數(shù)不是素?cái)?shù)函數(shù)，充分大不是無窮大。公式中的x至少不能是任意的。為什么呢？因?yàn)樗財(cái)?shù)分布個(gè)數(shù)π（x）在一定的[x]區(qū)間上是有規(guī)律的。那么，怎樣確定素?cái)?shù)分布區(qū)間[x]的大小呢。首先我們來分析一下合數(shù)與素?cái)?shù)在自然數(shù)列1,2,3,…的分布機(jī)制?！?”俗稱“原子數(shù)”，是構(gòu)成素?cái)?shù)的原始單位，又稱“原始素?cái)?shù)”。“素?cái)?shù)”俗稱“分子數(shù)”，是合成合數(shù)的基本單位。根據(jù)整除的“傳遞性”，1能整除素?cái)?shù)，素?cái)?shù)能整除合數(shù)，1就是所有自然數(shù)的最小單位。自然數(shù)分為“素?cái)?shù)（包括1）”與合數(shù)兩大類?！八?cái)?shù)”與合數(shù)相互

4、依存，對立統(tǒng)一于自然數(shù)列?！八?cái)?shù)”＝自然數(shù)－合數(shù)。把合數(shù)與素?cái)?shù)聯(lián)系起來研究是本文的一個(gè)核心方法。其次，來分析一下愛氏篩法。它是篩去區(qū)間[1,N]上合數(shù)，保留素?cái)?shù)。暫且稱為“愛氏區(qū)間正篩法”。用反向思維。篩去數(shù)列上能被“2,3,5,…,p”整除的合數(shù)以外的“剩余類”數(shù)，保留有限的“2,3,5,…,p”整除的合數(shù)，考察“有限合數(shù)”分布規(guī)律及“剩余類數(shù)”分布規(guī)律的聯(lián)系。把這種篩法，暫且稱為“愛氏數(shù)列反篩法”。再次分析愛氏數(shù)篩法原理“2,…,”的區(qū)間[1,N]與數(shù)列的關(guān)系。設(shè)奇數(shù)ε≥3，N=ε+2，則區(qū)間[1,N]寫成開區(qū)間（1,(ε+2)2-22）。只要篩去整

5、數(shù)“2,…,ε”的x倍合數(shù)，就能篩凈開區(qū)間（1,(ε+2)2-22）上的全部合數(shù)。我們不要孤立地去分析開區(qū)間（1,(ε+2)2-22）上的素?cái)?shù)分布情況。而是要從全數(shù)列來分析。例如，我們把奇數(shù)列1,3,5,…分為有限的“3,…,ε”的x倍合數(shù)（稱有限倍合數(shù)）和“有限倍合數(shù)”以外的“剩余類數(shù)”（稱合外剩余數(shù)）兩類。顯然，“合外剩余數(shù)”又分為“純素?cái)?shù)”（在開區(qū)間（1,(ε+2)2-22）上）和“雜素?cái)?shù)”（在開區(qū)間（(ε+2)2-22,∞）上）。12有限的“3,…,ε”的x倍合數(shù)，在以ε的倍數(shù)劃分的區(qū)間[1,1ε],[1ε+2,1ε],[3ε+2,5ε],…上的

6、分布個(gè)數(shù)是有規(guī)律的。所以，奇數(shù)列區(qū)間分布規(guī)律－“有限合數(shù)”區(qū)間分布規(guī)律＝“合外剩余數(shù)”區(qū)間分布規(guī)律。在開區(qū)間（1,(ε+2)2-22）上的素?cái)?shù)是“合外剩余數(shù)”的組成部分，所以素?cái)?shù)分布在“ε倍區(qū)間”上也有規(guī)律。素?cái)?shù)分布區(qū)間劃分定理：在奇數(shù)列1,3,5,…的開區(qū)間（1,(ε+2)2-22）上，以ε的倍數(shù)劃分的區(qū)間[1,1ε],[1ε+2,1ε],[3ε+2,5ε],…上必有素?cái)?shù)分布。根據(jù)這個(gè)定理，可有如下推導(dǎo)。推理：設(shè)N=1,3,5,…則在奇數(shù)列1,3,5,…的區(qū)間[N2,(N+2)2-2]上必有素?cái)?shù)分布。又設(shè)區(qū)間[N2,(N+2)2-2]上的項(xiàng)數(shù)為x=2(

7、N+1)，那么，這個(gè)區(qū)間上的素?cái)?shù)分布個(gè)數(shù)可以用π(x)≈x/ln(x/2)來近似求出。這個(gè)公式∑x/ln(x/2)比求值精確。1“有限合數(shù)”分布初等規(guī)律1.1合數(shù)類型及合數(shù)分布公差定理把在奇數(shù)列1,3,5,…上的合數(shù)分為：（1）3倍合數(shù)9,15,21,…的分布公差d3=2×3（2）5倍合數(shù)15,25,35,…的分布公差d5=2×5（3）7倍合數(shù)21,35,49,…的分布公差d7=2×7（4）9倍合數(shù)27,45,63,…的分布公差d7=2×9……（n）ε倍合數(shù)3ε,5ε,7ε,…的分布公差dε=2ε定義：我們把有限的“3倍，5倍，7倍，（9）倍，…，ε倍合

8、數(shù)”稱作有限合數(shù)。1.2ε倍合數(shù)等差分布定理設(shè)ε≥3，在奇數(shù)列1,3,5,…上，