資源描述:
《解析幾何中最值問題的常用解法》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、解析幾何中最值問題的常用解法:有關(guān)解析幾何中的最值問題,在中學(xué)數(shù)學(xué)中較為常見,在高考中亦占據(jù)了相當(dāng)?shù)谋戎?,以下將從具體的實例出發(fā),分析并介紹幾種比較典型的解題方法,找出一般的解題程序與技巧。 關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué);最值;解法 最大值和最小值的問題是生產(chǎn)、科學(xué)研究和日常生活中經(jīng)常遇到的一類特殊的數(shù)學(xué)問題,所謂“多、快、好、省”的問題就屬于這一類?! ∏蠼庾畲笾祷蜃钚≈档膯栴},雖然在中學(xué)課本中沒單獨列出章節(jié)專門講授,可是它卻與中學(xué)數(shù)學(xué)中眾多的知識和方法緊密相關(guān)。譬如:二次函數(shù)、不等式、函數(shù)的有界性等有關(guān)知識和方法的利用。所以,這類最大值和最小值問題就在高考數(shù)學(xué)的考查中占有了比較重要的
2、地位。再有,最大值和最小值問題的另一個顯著特點是它廣泛的應(yīng)用性和實用性。很多實際問題的解決可以歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)上的最大值或最小值問題的求解。所以這類實際問題的求解,將有利于學(xué)生把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練,有利于分析問題和解決問題能力的培養(yǎng),有利于數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的形成。從近幾年的高考“在考查知識的同時,逐步加強了對能力的考查”的趨勢看,高考將注重檢查考生在所學(xué)課程內(nèi)容能夠融會貫通所達到的程度,所以,從這一角度看,最大值和最小值的應(yīng)用問題在高考數(shù)學(xué)試卷中仍是一個熱點。下面將針對解析幾何中的最值問題,作出幾種具體分類討論: 一、利用二次函數(shù)的知識求最值 關(guān)于二次函數(shù):y=ax2+b
3、x+c(a≠0),x∈R, 當(dāng)x=-時,y=為最值。 當(dāng)a>0時,有ymin, 當(dāng)a<0時,有ymax?! 〉ǔ6魏瘮?shù)有相應(yīng)的定義域,自變量x的具體取值范圍有所不同,討論最值的方式也有所不同。主要有兩種情況: 1.x∈R,當(dāng)a>0,則有ymin=; 當(dāng)a<0,則有ymax=。 2.當(dāng)x定義在閉區(qū)間,即x∈[a,b](a,b為常數(shù)),則應(yīng)當(dāng)看對稱軸x=-是否在此區(qū)間,如果x在此區(qū)間,則函數(shù)同時有最大值與最小值,如果x不在此區(qū)間,則函數(shù)的最大值與最小值必定分別取在該區(qū)間兩個端點上(具體由函數(shù)單調(diào)性決定)。當(dāng)x定義在一個含參數(shù)的閉區(qū)間即x∈[t,t+a](t為參數(shù),a為
4、常數(shù))時,需要對參數(shù)進行討論。 例1.點A、B分別是以雙曲線的焦點為頂點,頂點為焦點的橢圓C長軸的左、右端點,點F是橢圓的右焦點,點P在橢圓C上,且位于x軸上方, ?。?)求橢圓C的的方程; ?。?)求點P的坐標(biāo); (3)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點,點M到直線AP的距離等于
5、MB
6、,求橢圓上的點到M的距離d的最小值?! 》治觯哼@道題應(yīng)歸結(jié)于上述類別2?! 〗猓?.解(1)已知雙曲線實半軸a1=4,虛半軸b1=2,半焦距c1=, ∴橢圓的長半軸a2=c1=6,橢圓的半焦距c2=a1=4,橢圓的短半軸b2=,∴所求的橢圓方程為?! 。?)由已知A(-6,0)、F(4,0),
7、設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),則=(x+6,y),=(x-4,y),由已知得: 則2x2+9x-18=0,解之得, 由于y>0,所以只能取與,于是,所以點P的坐標(biāo)為(,)?! 。?)直線,設(shè)點M是(m,0),則點M到直線AP的距離是,于是, 又∵點M在橢圓的長軸上,即,, ∴當(dāng)m=2時,橢圓上的點到M(2,0)的距離 又, ∴當(dāng)時,d取最小值?! 《⑦\用判別式求解 讓我們先具體看一下例題,找出這類求解方法的題目特征?! ±?.已知定點P(3,2)和直線,試在直線上求一點Q,使過PQ的直線與直線以及x軸在第一象限內(nèi)圍成的三角形面積最小。 分析:本題設(shè)問的是達到
8、最值時過PQ的直線,此時我們需要根據(jù)題設(shè)尋出關(guān)于面積最值的函數(shù)解析式,找出它與所求未知量之間的聯(lián)系?! 〗猓喝鐖D,設(shè)上的點Q(x0,y0) 由題設(shè)知,y0=2x0, 又P(3,2),由直線兩點方程得: 設(shè)交x軸于M點(x1,0),代入上式得: ∴,即M點(,0) 又S△OMQ= ∴① ∵, ∴△=S2-8S 由S>0可得S≥8 ∴Smin=8 代入①式得: ∴當(dāng)Q為(2,4)時,S△OMQ最小?! ≡u注:關(guān)于這類題目,通常其提問方式都是以最值作為前提條件,再由此求出其對應(yīng)所求自變量的值,具體特征:所列最值的函數(shù)解析式或化簡后的解析式s=
9、f(x)可以化為: 的形式(是s的函數(shù))。 一般的解決方法:在上式中,由x∈R(或x可在某一定義域范圍內(nèi)取值)可以得出△,解這個不等式求出s的變化范圍,得到最值,再將其代回原式解x,最終求出其對應(yīng)自變量的值?! ∪⒗貌坏仁椒ㄇ蠼狻 【挡坏仁降囊话阈问剑篈=G,(其中a1,a2,…an為正數(shù)且n>1,n∈Z)不等式通常分“基本不等式”和“均值不等式”兩種結(jié)構(gòu)特征,利用基本不等式求最值時,一定要關(guān)注等號成立的條件及等號是否能夠取得,而利用均值不等式求最值,則必須關(guān)注三個條件