解析幾何最值問題的解法

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1、解析幾何最值問題的解法上海市松江一中陸琿解析幾何的最值問題是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考的常見題型。由于高中解析集合研究的都是二次曲線，所以通常情況下，解此類問題的方法和解函數(shù)中的求最值問題方法類似，常用下面幾種方法：1、化為二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最值；2、化為一元二次方程，利用△；3、利用不等式；4、利用函數(shù)的單調(diào)性和有界性；5、利用幾何法。在解此類問題時(shí)，以上方法也可能會(huì)混合運(yùn)用。同時(shí)，恰當(dāng)利用解析幾何中二次曲線定義和性質(zhì)，或利用參數(shù)方程，或建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，也可以簡(jiǎn)化問題，方便解題。例題1：如圖已知點(diǎn)在圓上移動(dòng)，點(diǎn)在橢圓上移動(dòng)，求的最大值。[分析：如圖先讓

2、點(diǎn)在橢圓上固定，顯然通過圓心時(shí)最大，因此要的最大值，只要求的最大值。]解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，則①，因點(diǎn)在橢圓上，故②精品教育文檔把②代入①得點(diǎn)在橢圓上移動(dòng)，時(shí)，說明：此解法就是典型的運(yùn)用化為二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最值來解決問題。但是在利用二次函數(shù)求最值時(shí)，不能機(jī)械地套用最值在頂點(diǎn)處取得的模式，首先要求出定義域，然后再看頂點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，若在，則可套用，若不在，則要按二次函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性來判定。例題2：如圖，定長(zhǎng)為3的線段的兩端在拋物線上移動(dòng)，且線段中點(diǎn)為，求點(diǎn)到軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。[分析：點(diǎn)到軸的最短距離，即求點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值。]解法一：化為一元二次方程，

3、利用△設(shè)則①②③④⑤③④代入⑤，整理得，即⑥由①③④得⑦②代入上式得⑧②⑦⑧代入⑥并整理得⑨，△，即精品教育文檔，將代入⑨得所以中點(diǎn)到軸的最短距離是，相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為或說明：此類解法是學(xué)生比較容易掌握的方法，解題時(shí)將未知的元素都進(jìn)行適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，并通過已知條件找出它們與解題目標(biāo)的關(guān)系并化為一元二次方程，利用△計(jì)算。在運(yùn)用此法時(shí)，不僅要判斷方程是否有解，還應(yīng)注意方程解的特點(diǎn)，如正負(fù)根等，此時(shí)可進(jìn)一步應(yīng)用方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）等進(jìn)行討論和判斷。同時(shí)，此類解法字母較多，計(jì)算量大，解題時(shí)應(yīng)更加仔細(xì)。解法二：利用不等式同解法一，得⑨，整理得，以下同前。說明：利用不等式性質(zhì)（時(shí)

4、等號(hào)成立）的解法也是比較常用的解題方法，但是應(yīng)用時(shí)應(yīng)該考慮不等式性質(zhì)成立的前提和性質(zhì)的特點(diǎn)，在進(jìn)行計(jì)算式變形時(shí)目的要明確，同時(shí)等號(hào)成立是變量的取值要關(guān)注到位。若題設(shè)條件無法在時(shí)取得最值，則應(yīng)利用函數(shù)的單調(diào)性和有界性求得最值。解法三：幾何法精品教育文檔如圖設(shè)，則以為直徑的圓為準(zhǔn)線上離圓最遠(yuǎn)的點(diǎn)代入上式得，故準(zhǔn)線與圓相離或相切，又圓半徑為，圓與準(zhǔn)線相切時(shí)，即時(shí)，點(diǎn)到軸的最短距離是，即點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值為點(diǎn)的縱坐標(biāo)所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或說明：利用幾何法的前提是對(duì)曲線的概念和性質(zhì)有充分的理解，并對(duì)題設(shè)條件具有相當(dāng)?shù)倪w移能力。例題3：在半徑為的圓中，，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，求△的

5、面積最大值。[分析：通過建立函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)求最值的方法解決問題]解法一：如圖，以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過平行于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系。因?yàn)椤鳛榈妊苯侨切危宰鴺?biāo)為設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，精品教育文檔當(dāng)，即時(shí)解法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系。因?yàn)椤鳛榈妊苯侨切危詧A心坐標(biāo)為，圓方程為，即設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足上式，當(dāng)時(shí)，說明：通過以上兩種解法可見，不同的坐標(biāo)系的建立方法對(duì)解題模式的影響是巨大的，雖然解法二也可用參數(shù)方程，但顯然計(jì)算很復(fù)雜。并且以上兩種解法均混合運(yùn)用了二次函數(shù)、參數(shù)方程、幾何法等多種解題方法。所以，在解題時(shí)我們應(yīng)綜合分析題意，就

6、能選擇出恰當(dāng)?shù)慕嵌群头椒▉斫鉀Q問題。精品教育文檔