淺談?chuàng)Q元法在求解某些高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

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1、淺談?chuàng)Q元法在求解某些高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用利用換元法解數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵在于能否恰當(dāng)?shù)剡x擇“新元”，然后再進(jìn)行恰當(dāng)?shù)拇鷵Q，找到較清晰的解題思路，能用來簡化問題。使用換元法時(shí)必須注意新元的取值范圍是否和舊元取值范圍保持對應(yīng)、換元時(shí)所受到的限制條件，還要注意根據(jù)題設(shè)環(huán)境檢驗(yàn)結(jié)果。換元的目的是變換研究對象，將問題轉(zhuǎn)換致新對象的知識背景中去研究。用一句話來概括換元法的作用就是“復(fù)雜結(jié)構(gòu)簡單化，混亂思路清晰化”。換元法從方法上可以分為：“以元代數(shù)”，“以元代元”和“以數(shù)代元”等。從思想上可以分為：“整體換元”、“三角換元”、“對稱換元”、“均值換元”、“設(shè)差換元”等。換元法在高中數(shù)學(xué)范圍內(nèi)主要應(yīng)用于

2、四種問題，即不等式的證明問題，解方程問題，求函數(shù)最值問題和化簡問題。下面將對這四種問題進(jìn)行逐個(gè)分析。　　一、換元法在不等式問題中的應(yīng)用　　不等式的證明有三大難點(diǎn)：切入點(diǎn)難找，可利用條件模糊，變形方向更是難以把握，利用換元法引入新元，有時(shí)可以有效地將分散條件整合，隱含條件再現(xiàn)，從而使問題也變的易于處理。以下是換元法在幾種常見類型不等式問題的應(yīng)用情況。　　　　評：通過觀察本題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，會發(fā)現(xiàn)左式兩個(gè)分母：x,1-x與三角函數(shù)中的sin2x,1-sin2x的結(jié)構(gòu)相似，因此本題采用三角換元法，將x換成sin2θ（以數(shù)代元）便可利用三角公式，將式子由分式結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成整式結(jié)構(gòu)，簡化解題難度.　

3、　　　恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.　　解：令，則原問題等價(jià)于不等式對x∈R恒成立，因?yàn)閠2=0時(shí)不成立，所以，即.　　　　評：本題將不等式中的看成一個(gè)整體，用t代換，即用以元代數(shù)的方法去整體換元。這樣可以排除干擾，將問題轉(zhuǎn)化為我們最熟悉不過的一元二次不等式問題，從而使問題變的易于解決?！　⊥ㄟ^以上幾個(gè)例子我們可以知道：在較為復(fù)雜的不等式證明中，有許多不等式在利用換元法變形之后，就可以使分散條件整合，隱含條件顯現(xiàn)，使問題變的易于處理?！　《?、換元法在解方程中的應(yīng)用　　在高中數(shù)學(xué)中，方程問題是最常見的數(shù)學(xué)問題之一，其解題方法也較為簡單明了。然而一些特殊的方程用一般的方法卻難以解決，比如

4、一些高次方程，分式方程，對數(shù)方程等。這些方程的未知數(shù)較復(fù)雜，難以處理。而換元法的作用就是化繁為簡，所以當(dāng)使用換元法來解決某些解方程問題時(shí)，作用會很明顯。以下幾種類型的方程問題具有代表性?！　±?.解方程：10logxxlogx=20.　　解：令t=logx，則x=10t，所以原方程變?yōu)椋?0t210t2=20　　所以10t2=10，t2=1，t=±1，即logx=±1，　　所以x=10或，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是原方程的解.　　評：此方程的未知量的形式較為復(fù)雜，涉及了與對數(shù)函數(shù)的混合情況，問題看似難以處理，但通過觀察可以感覺到10logx與xlogx這兩項(xiàng)之間肯定有著某種重要的聯(lián)系，于是令

5、t=logx，再經(jīng)過簡單變形后，方程結(jié)構(gòu)變的相當(dāng)簡單！　　例2.解方程：　　解：原方程可以變?yōu)椋骸　　　≡u：形如的方程，易知令：，原方程可變形為Ay2Byc=0.這是一個(gè)關(guān)于y的一元二次方程.對于此題，將左式中的第一項(xiàng)通過完全平方公式簡單變形后，即可變?yōu)樯鲜鲂问降姆匠?，再令，問題便轉(zhuǎn)化為容易解決的一元二次方程的情況.　　　　可以看出，用換元法解方程和用換元法證明不等式兩種問題之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，同樣需要在設(shè)置一個(gè)新元后，使未知數(shù)降次，化整，使問題得以解決.另外，用換元法解方程時(shí)，應(yīng)注意新變量的可取值范圍與原變量的可取值范圍要保持等價(jià)，這其實(shí)也就是用換元法解方程的等價(jià)性原則.忽視

6、等價(jià)性原則是用換元法解方程時(shí)一個(gè)常見的錯誤，應(yīng)加以注意.　　三、換元法在求解函數(shù)最值問題中的應(yīng)用　　函數(shù)的最值問題最能體現(xiàn)出函數(shù)的特性，其在高考中也很常見。問題的解決難以程度通常在于自變量的數(shù)學(xué)關(guān)系是否明朗，范圍是否簡單，對于自變量較為復(fù)雜的函數(shù)，其處理難度不小，這時(shí)若用換元法代入新元，有時(shí)會使新變量數(shù)量關(guān)系簡潔化，范圍也簡單化，解題難度也大大降低！在高中范圍內(nèi)，這種類型的問題如果需要使用換元法，三角換元和整體換元應(yīng)為首選，請看下面幾種具有代表性的例子?！　±?．求函數(shù)的值域.　　解：由1-x2≥0得函數(shù)定義域?yàn)?1≤x≤1，令x=sinθ，，則，因?yàn)閯t，，所以　　評：本函數(shù)的定義

7、域?yàn)閇-1，1]，聯(lián)想到sinθ的取值范圍也是[-1，1]，于是令sinθ代換x.注意應(yīng)限定，這樣就滿足了新舊變量的范圍之等價(jià)性，也使新變量的范圍最簡，從而使整個(gè)解題范圍簡潔流暢！　　例2．已知f(x)的值域?yàn)?，試求y=g(x)=f(x)的最值.　　解：設(shè)，由，所以，則有，由中可以解出代入g(x)中，在上為遞增函數(shù)，故.　　　　評：本題自變量x，即是g(x)的自變量，又是函數(shù)f(x)的自變量，所以函數(shù)g(x)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，其自變量處理起來較為復(fù)雜.同時(shí)f(x)并沒有