與軸對(duì)稱相關(guān)的最值問題

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1、與軸對(duì)稱相關(guān)的最值問題【典型題型一】：如圖，直線l和l的異側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小。【典型題型二】如圖，直線l和l的同側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小?！揪毩?xí)】1、(溫州中考題)如圖（5），在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，∠BAD=1200,點(diǎn)P在BD上，則PE+PC的最小值是（）解：如圖（6），因?yàn)榱庑问禽S對(duì)稱圖形，所以BC中點(diǎn)E關(guān)于對(duì)角線BD的對(duì)稱點(diǎn)E一定落在AB的中點(diǎn)E1，只要連結(jié)CE1，CE1即為PC+PE的最小值。這時(shí)三角形CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE=

2、CE1=2a。所以選（D）。2、如圖（13），一個(gè)牧童在小河南4英里處牧馬，河水向正東方流去，而他正位于他的小屋B西8英里北7英里處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他能夠完成這件事所走的最短距離是（）（A）4+英里（B）16英里（C）17英里（D）18英里3．如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x.請(qǐng)問點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC＋CE的值最小?4．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC＋ED的最

3、小值為_______。即是在直線AB上作一點(diǎn)E，使EC+ED最小作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接DC'交AB于點(diǎn)E，則線段DC'的長(zhǎng)就是EC+ED的最小值。在直角△DBC'中DB=1，BC=2，根據(jù)勾股定理可得，DC'=5．如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長(zhǎng)為2，E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值為即在AC上作一點(diǎn)P，使PB+PE最小作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'E，交AC于點(diǎn)P，則B'E=PB'+PE=PB+PEB'E的長(zhǎng)就是PB+PE的最小值在直角△B'EF中，EF=1，B'F=3根據(jù)勾股定理，B'E=6．如圖

4、所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD＋PE的和最小，則這個(gè)最小值為（）A．2B．2C．3D．即在AC上求一點(diǎn)P，使PE+PD的值最小點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B，連接BE交AC于點(diǎn)P，則BE=PB+PE=PD+PE，BE的長(zhǎng)就是PD+PE的最小值BE=AB=27．如圖，若四邊形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PC+PD的最小值；作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C'，過點(diǎn)C'，作C'B⊥BC，交BD于點(diǎn)P，則C'E就是PE+

5、PC的最小值直角△BCD中，CH=錯(cuò)誤！未定義書簽。直角△BCH中，BH=8△BCC'的面積為：BH×CH=160所以C'E×BC=2×160則CE'=168．如圖，若四邊形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PC+PE的最小值；點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AE⊥BC，交BD于點(diǎn)P，則AE就是PE+PC的最小值在等腰△EAB中，求得AE的長(zhǎng)為59．如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為(???

6、)A?2??B?????C?1??D?2即在MN上求一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，交MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所要作的點(diǎn)A'B的長(zhǎng)就是PA+PB的最小值連接OA'、OB，則△OA'B是等腰直角三角形所以A'B=10如圖，一次函數(shù)y=與反比例函數(shù)y=交于點(diǎn)A，AM⊥x軸于點(diǎn)M，S△OAM=1(1)求k的值，(2)點(diǎn)B為雙曲線y=上不與A重合的一點(diǎn)，且B(1，n)，在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小(1)由S△OAM=1知，k=2(2)作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接A’B，交x軸于點(diǎn)P，連接PA，則PA+PB最小。用待

7、定系數(shù)法求直線A’B的解析式為y=-3x+5，因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上，所以設(shè)y=0，即0=-3x+5，解得x=所以P(，0)11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l是第一、三象限的角平分線．（1）由圖觀察易知A（0，2）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，0），請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明B（5，3）、C（－2，5）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′、C′的位置，并寫出他們的坐標(biāo)：B′、C′；（2）結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（不必證明）；（3）已知兩點(diǎn)D（1，－3）、E（－1，－4），試在直線

8、l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．(1)點(diǎn)B(5，3)、C(-2，5)關(guān)于直