正切余切圖像的性質(zhì)反三角函數(shù)

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1、正切、余切函數(shù)圖象和性質(zhì)反三角函數(shù)  [知識要點(diǎn)]  1.正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖象與性質(zhì)  2.反三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)  3.已知三角函數(shù)值求角  [目的要求]  1.類比正、余弦函數(shù)的研究,討論正切函數(shù)與余切函數(shù)的圖象和性質(zhì),關(guān)注其不同點(diǎn).  2.從反函數(shù)概念入手,引入反三角函數(shù)定義,并定性討論其圖象和性質(zhì).  3.能熟練運(yùn)用正、余弦函數(shù)性質(zhì)解決問題.  4.能用反三角函數(shù)值表示不同范圍內(nèi)的角.  [重點(diǎn)難點(diǎn)]  1.正切函數(shù)圖象與性質(zhì) 2.已知三角函數(shù)值求角  [內(nèi)容回顧]  一、正切函數(shù)與余切函數(shù)圖象  由前面我們

2、正、余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)的過程知,在中學(xué)階段,對一個函數(shù)的認(rèn)識,多是“由圖識性”.因此,可以先作出正、余切函數(shù)的圖象.  作三角函數(shù)圖象的一般方法,有描點(diǎn)法和平移三角函數(shù)線法.  與正、余弦函數(shù)的五點(diǎn)法作圖相類似,我們可以選擇正切函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象上三點(diǎn)及兩條重要的輔導(dǎo)線——漸近線,來作正切函10數(shù)在區(qū)間上的簡圖,不妨稱之為“三點(diǎn)兩線法”.  若想迅速作出余切函數(shù)y=cotx的圖象,如何選擇“三點(diǎn)”及“兩線”呢?請大家看余切函數(shù)的圖象,不難得到答案.  二、正、余切函數(shù)的性質(zhì)  由圖象可得: y=tanxy=cotx定

3、義域值域RR單調(diào)性在上單增(k∈Z)在上單減(k∈Z)周期性T=πT=π對稱性10對稱中心,奇函數(shù)(k∈Z)20對稱軸;無10對稱中心,奇函數(shù)(k∈Z)20對稱軸;無  注:1、由定義域知,y=tanx與y=cotx圖象都存在無數(shù)多個間斷點(diǎn)(不連續(xù)點(diǎn)).  2、每個單調(diào)區(qū)間一定是連續(xù)的.  3、由單調(diào)性可解決比較大小問題,但要務(wù)必使兩個自變量在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).  三、反三角函數(shù)的概念和圖象  四種三角函數(shù)都是由x到y(tǒng)的多值對應(yīng),要使其有反函數(shù),必須縮小自變量x的范圍,使之成為由x到y(tǒng)的對應(yīng).從方便的角度而言,這個x的范圍

4、應(yīng)該(1)離原點(diǎn)較近;(2)包含所有的銳角;(3)能取到所有的函數(shù)值;(4)最好是連續(xù)區(qū)間.從這個原則出發(fā),我們給出如下定義:  1.y=sinx,x∈的反函數(shù)記作y=arcsinx,x∈[-1,1],稱為反正弦函數(shù).  y=cosx,x∈[0,π]的反函數(shù)記作y=arccosx,x∈[-1,1],稱為反余弦函數(shù).10  y=tanx,x∈的反函數(shù)記作y=arctanx,x∈R,稱為反正切函數(shù).  y=cotx,x∈(0,π)的反函數(shù)記作y=arccotx,x∈R,稱為反余切函數(shù).  2.反三角函數(shù)的圖象  由互為反函數(shù)

5、的兩個函數(shù)圖象間的關(guān)系,可作出其圖象.    注:(1)y=arcsinx,x∈[-1,1]圖象的兩個端點(diǎn)是  (2)y=arccosx,x∈[-1,1]圖象的兩個端點(diǎn)是(1,0)和(-1,π). ?。?)y=arctanx,x∈R圖象的兩條漸近線是和.10 ?。?)y=arccotx,x∈R圖象的兩條漸近線是y=0和y=π.  四、反三角函數(shù)的性質(zhì)由圖象,有 y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx定義域[-1,1][-1,1]RR值域[0,π](0,π)單調(diào)性在[-1,1]上單增在[-

6、1,1]上單減在R上單增在R上單減對稱性10對稱中心(0,0)奇函數(shù)20對稱軸;無10對稱中心非奇非偶20對稱軸;無10對稱中心(0,0)奇函數(shù)20對稱軸;無10對稱中心非奇非偶20對稱軸;無周期性無無無無  另外:  1.三角的反三角運(yùn)算  arcsin(sinx)=x(x∈)  arccos(cosx)=x(x∈[0,π])  arctan(tanx)=x(x∈)  arccot(cotx)=x(x∈(0,π))  2.反三角的三角運(yùn)算  sin(arcsinx)=x(x∈[-1,1]) cos(arccosx)=x

7、(x∈[-1,1])  tan(arctanx)=x(x∈R)  cot(arccotx)=x(x∈R)  3.x與-x的反三角函數(shù)值關(guān)系  arcsin(-x)=-arcsinx(x∈[-1,1])  arccos(-x)=π-arccosx(x∈[-1,1])  arctan(-x)=-arctanx(x∈R)  arccot(-x)=π-arccotx(x∈R)  4.10  五、已知三角函數(shù)值求角  1.若sinx=a(

8、a

9、≤1),則x=kπ+(-1)karcsina(k∈Z)  2.若cosx=a(

10、a

11、≤1

12、),則x=2kπ±arccosa(k∈Z)  3.若tanx=a(a∈R),則x=kπ+arctana(k∈Z)  4.若cotx=a(a∈R),則x=kπ+arccota(k∈Z)  具體計算和表示時,應(yīng)根據(jù)x的范圍來確定x的個數(shù).  [典型例題分析]  例1.比較大小:  (1)  (2)  分析:不在余切函數(shù)的

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