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《正切余切圖像的性質(zhì)反三角函數(shù)》由會員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、正切、余切函數(shù)圖象和性質(zhì)反三角函數(shù) [知識要點(diǎn)] 1.正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 2.反三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 3.已知三角函數(shù)值求角 [目的要求] 1.類比正、余弦函數(shù)的研究,討論正切函數(shù)與余切函數(shù)的圖象和性質(zhì),關(guān)注其不同點(diǎn). 2.從反函數(shù)概念入手,引入反三角函數(shù)定義,并定性討論其圖象和性質(zhì). 3.能熟練運(yùn)用正、余弦函數(shù)性質(zhì)解決問題. 4.能用反三角函數(shù)值表示不同范圍內(nèi)的角. [重點(diǎn)難點(diǎn)] 1.正切函數(shù)圖象與性質(zhì) 2.已知三角函數(shù)值求角 [內(nèi)容回顧] 一、正切函數(shù)與余切函數(shù)圖象 由前面我們
2、正、余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)的過程知,在中學(xué)階段,對一個函數(shù)的認(rèn)識,多是“由圖識性”.因此,可以先作出正、余切函數(shù)的圖象. 作三角函數(shù)圖象的一般方法,有描點(diǎn)法和平移三角函數(shù)線法. 與正、余弦函數(shù)的五點(diǎn)法作圖相類似,我們可以選擇正切函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象上三點(diǎn)及兩條重要的輔導(dǎo)線——漸近線,來作正切函10數(shù)在區(qū)間上的簡圖,不妨稱之為“三點(diǎn)兩線法”. 若想迅速作出余切函數(shù)y=cotx的圖象,如何選擇“三點(diǎn)”及“兩線”呢?請大家看余切函數(shù)的圖象,不難得到答案. 二、正、余切函數(shù)的性質(zhì) 由圖象可得: y=tanxy=cotx定
3、義域值域RR單調(diào)性在上單增(k∈Z)在上單減(k∈Z)周期性T=πT=π對稱性10對稱中心,奇函數(shù)(k∈Z)20對稱軸;無10對稱中心,奇函數(shù)(k∈Z)20對稱軸;無 注:1、由定義域知,y=tanx與y=cotx圖象都存在無數(shù)多個間斷點(diǎn)(不連續(xù)點(diǎn)). 2、每個單調(diào)區(qū)間一定是連續(xù)的. 3、由單調(diào)性可解決比較大小問題,但要務(wù)必使兩個自變量在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi). 三、反三角函數(shù)的概念和圖象 四種三角函數(shù)都是由x到y(tǒng)的多值對應(yīng),要使其有反函數(shù),必須縮小自變量x的范圍,使之成為由x到y(tǒng)的對應(yīng).從方便的角度而言,這個x的范圍
4、應(yīng)該(1)離原點(diǎn)較近;(2)包含所有的銳角;(3)能取到所有的函數(shù)值;(4)最好是連續(xù)區(qū)間.從這個原則出發(fā),我們給出如下定義: 1.y=sinx,x∈的反函數(shù)記作y=arcsinx,x∈[-1,1],稱為反正弦函數(shù). y=cosx,x∈[0,π]的反函數(shù)記作y=arccosx,x∈[-1,1],稱為反余弦函數(shù).10 y=tanx,x∈的反函數(shù)記作y=arctanx,x∈R,稱為反正切函數(shù). y=cotx,x∈(0,π)的反函數(shù)記作y=arccotx,x∈R,稱為反余切函數(shù). 2.反三角函數(shù)的圖象 由互為反函數(shù)
5、的兩個函數(shù)圖象間的關(guān)系,可作出其圖象. 注:(1)y=arcsinx,x∈[-1,1]圖象的兩個端點(diǎn)是 (2)y=arccosx,x∈[-1,1]圖象的兩個端點(diǎn)是(1,0)和(-1,π). ?。?)y=arctanx,x∈R圖象的兩條漸近線是和.10 ?。?)y=arccotx,x∈R圖象的兩條漸近線是y=0和y=π. 四、反三角函數(shù)的性質(zhì)由圖象,有 y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx定義域[-1,1][-1,1]RR值域[0,π](0,π)單調(diào)性在[-1,1]上單增在[-
6、1,1]上單減在R上單增在R上單減對稱性10對稱中心(0,0)奇函數(shù)20對稱軸;無10對稱中心非奇非偶20對稱軸;無10對稱中心(0,0)奇函數(shù)20對稱軸;無10對稱中心非奇非偶20對稱軸;無周期性無無無無 另外: 1.三角的反三角運(yùn)算 arcsin(sinx)=x(x∈) arccos(cosx)=x(x∈[0,π]) arctan(tanx)=x(x∈) arccot(cotx)=x(x∈(0,π)) 2.反三角的三角運(yùn)算 sin(arcsinx)=x(x∈[-1,1]) cos(arccosx)=x
7、(x∈[-1,1]) tan(arctanx)=x(x∈R) cot(arccotx)=x(x∈R) 3.x與-x的反三角函數(shù)值關(guān)系 arcsin(-x)=-arcsinx(x∈[-1,1]) arccos(-x)=π-arccosx(x∈[-1,1]) arctan(-x)=-arctanx(x∈R) arccot(-x)=π-arccotx(x∈R) 4.10 五、已知三角函數(shù)值求角 1.若sinx=a(
8、a
9、≤1),則x=kπ+(-1)karcsina(k∈Z) 2.若cosx=a(
10、a
11、≤1
12、),則x=2kπ±arccosa(k∈Z) 3.若tanx=a(a∈R),則x=kπ+arctana(k∈Z) 4.若cotx=a(a∈R),則x=kπ+arccota(k∈Z) 具體計算和表示時,應(yīng)根據(jù)x的范圍來確定x的個數(shù). [典型例題分析] 例1.比較大小: (1) (2) 分析:不在余切函數(shù)的