[軌跡及作圖]2幾何作圖

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1、[軌跡與作圖]2幾何作圖一、幾何作圖的意義、要求及作圖公法　　“幾何作圖”指的是只限用圓規(guī)和不帶刻度的直尺，根據(jù)給定的所需圖形的條件，完成所需圖形之意．從歐幾里得的《原本》開(kāi)始，在初等平面幾何書(shū)中，都含有一定數(shù)量的幾何作圖問(wèn)題．其用意從理論上說(shuō)，幾何作圖題是存在定理的變形．如在初中幾何課本中，“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作這直線(xiàn)的平行線(xiàn)”就是變相的平行線(xiàn)存在定理，“作三角形的外接圓”就是變相的三角形外接圓的存在定理等等．當(dāng)然，作圖題如“無(wú)解”，就說(shuō)明所需圖形不存在；但若“不能解”，則不能說(shuō)明所需圖形不存在．　　根據(jù)“幾何作圖”的意義，關(guān)于它的解法的敘述，要求包含有：　　1．作法按照作圖的步驟，順次

2、把它寫(xiě)出．　　2．證明從理論上論述上法作出的圖形符合要求．　　3．討論根據(jù)給定元素的不同關(guān)系，指明解的有無(wú)和解有多少．　　和定理論證中每一結(jié)論必須明確其理論根據(jù)一樣，在解作圖題的“作法”中每一圖形的完成都必須明確此圖形的作法依據(jù)．作為論證定理的理論根據(jù)，最終以明確至某公理為止，則作為解作圖題的“作法”依據(jù)，最終便以明確至“作圖公法”為止．　　如在敘述作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)CD(圖4－14)的作法中，不得只言“作與點(diǎn)A和B等距離的兩點(diǎn)C和D；連結(jié)C、D，……”必須指明“分別以點(diǎn)A和B為圓心，以同樣半徑作兩圓弧，設(shè)兩弧交于點(diǎn)C和D，連結(jié)C、D，……”．但如何“以一點(diǎn)為圓心、定長(zhǎng)為半徑作圓

3、”，如何“連結(jié)兩點(diǎn)成直線(xiàn)”，便不再進(jìn)一步說(shuō)明，因?yàn)檫@些都是作圖公法了．　　幾何作圖的公法是：　　1．過(guò)兩定點(diǎn)作直線(xiàn)；　　2．在一直線(xiàn)上或直線(xiàn)外取點(diǎn)；　　3．在一線(xiàn)段上或延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)；　　4．兩直線(xiàn)的交點(diǎn)；　　5．以任一點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作圓；　　6．一直線(xiàn)與一圓的交點(diǎn)；　　7．兩圓的交點(diǎn)．　　在任何一部數(shù)學(xué)書(shū)中，論證某一定理時(shí)，作為某一步結(jié)論的理論根據(jù)如果是此前已證過(guò)的定理，可以只指明這個(gè)定理而無(wú)須再追溯到公理．同樣，在敘述解作圖題的“作法”中，某一步的圖形的完成已是此前的“作圖題”，則只引至此無(wú)須追溯到公法．如敘述“過(guò)直線(xiàn)AB外的點(diǎn)P，作AB的平行線(xiàn)(圖4－15)”的作法中有“

4、以P為頂點(diǎn)，射線(xiàn)PQ為一邊，作∠QPE=∠PCB”一步．此時(shí)便不必再敘述作∠QPE=∠PCB的方法了．因在此前已有作等角的幾何作圖題了．　　二、解幾何作圖問(wèn)題的軌跡法　　求得幾何作圖問(wèn)題具體“作法”，和求得定理證明關(guān)鍵在于尋求論證思路一樣，首先在于尋求未知作法與已有的幾何作圖問(wèn)題的作法的聯(lián)系，綜合有關(guān)的已有作法成為所求的未知作法，使之成為已知．這就是通常所說(shuō)求得“作法”的“分析”過(guò)程．和論證定理不要求寫(xiě)出關(guān)鍵性的論證思路一樣，在幾何作圖的“解”中，也不要求寫(xiě)出“分析”，但在求得“作法”的關(guān)鍵在于“分析”過(guò)程，可以說(shuō)這是解幾何作圖問(wèn)題的過(guò)程中不可缺少的手段．　　作為解幾何作圖問(wèn)題的“分

5、析”方法，帶有根本性的方法之一，是“軌跡交截法”(簡(jiǎn)稱(chēng)“交軌法”)．由于問(wèn)題能否解得，常常歸結(jié)為某一點(diǎn)的位置的確定，而在初等幾何中，點(diǎn)的位置的確定，無(wú)非是有賴(lài)于兩直線(xiàn)的相交，一直線(xiàn)與一圓的相交或兩圓的相交．因而問(wèn)題便歸結(jié)為滿(mǎn)足所求點(diǎn)的兩種性質(zhì)的兩直線(xiàn)或一直線(xiàn)與一圓或兩圓的求得的問(wèn)題了，這就是交軌法．下面舉幾個(gè)解幾何作圖問(wèn)題的交軌法的例子，用以說(shuō)明交軌法的用法和解幾何作圖問(wèn)題的要求．　　例1以定線(xiàn)段為一邊，求作一個(gè)三角形，使這邊上的高和中線(xiàn)分別等于兩條給定的線(xiàn)段．　　已知：線(xiàn)段BC、h、m．　　求作：一三角形，使其一邊為線(xiàn)段BC，BC邊上的高和中線(xiàn)分別等于h和m．　　分析設(shè)△ABC即所

6、求(圖4－16)，則△ABC能作出的關(guān)鍵就在求點(diǎn)A的位置．　　作AD⊥BC于D點(diǎn)，則AD應(yīng)等于h．因而點(diǎn)A的軌跡之一即平面上與直線(xiàn)BC的距離等于h的點(diǎn)的軌跡(兩條平行線(xiàn))．　　取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)A、M，則AM應(yīng)等于m．因而點(diǎn)A的另一軌跡即平面上與點(diǎn)M的距離等于m的點(diǎn)的軌跡(圓)．　　因此，點(diǎn)A應(yīng)為這兩種軌跡的公共點(diǎn)．　　作法　　(1)分別在直線(xiàn)BC的兩側(cè)作直線(xiàn)l1∥BC、l2∥BC，且使l1、l2與BC間的距離等于h；　　(2)取線(xiàn)段BC的中點(diǎn)M，以M為圓心、m為半徑作⊙M，假設(shè)與l1和l2分別交于A、A＇，A1、A1＇點(diǎn)；　　(3)連結(jié)A、B，A、C，　　則△ABC即為所求的三角

7、形．　　證明　　作AD⊥BC于D點(diǎn)，由作法(1)知，AD＝h．即△ABC的BC邊上的高等于h?！　∵B結(jié)A、M．由作法(2)知，AM=m．即△ABC的BC邊上的中線(xiàn)等于m．　　由作法(3)知，△ABC的BC邊即已知的線(xiàn)段BC．　　因此△ABC確為所求的三角形．　　討論　　當(dāng)m＞h時(shí)，本題有4解(△ABC、△A＇BC、△A1BC、△A1＇BC)　　當(dāng)m=h時(shí)，本題有2解(A＇與A重合，A1＇與A1重合)．　　當(dāng)m＜h時(shí)，本題無(wú)解．　　例2以定線(xiàn)段為一邊，求作一